ГЛАВА VIII. Ветвление решений нелинейных уравнений в сингулярном случае

§ 20. Нетеровские операторы

26.1. Нетеровские операторы.

Обозначим, как и в § 21, через и подпространство нулей нормально разрешимого оператора и его дефектное подпространство. Теперь, однако, мы не предполагаем, что размерности этих подпространств равны. Нормально разрешимый оператор называется нетеровским или, короче, -оператором, если число нулей оператора В и его дефектное число конечны, т. е.

Число называется индексом нетеровского оператора, а упорядоченная пара чисел — характеристикой. Фредгольмовские операторы можно охарактеризовать как нетеровские операторы нулевого индекса.

Для нетеровских операторов могут представиться три случая: Если то через обозначим базис в Если же то через обозначим базис в

Рассмотрим однородное уравнение

и соответствующее ему неоднородное уравнение

В случае общее решение однородного уравнения (26.1) имеет вид

где произвольные числа. В этом же случае неоднородное уравнение (26.2) разрешимо при любой правой части и общее решение его равно

где — какое-либо частное решение уравнения (26.2), — произвольные числа.

В случае однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение Для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно, чтобы

и если эти условия выполнены, то общее решение имеет вид (26.4).

Наконец, в случае общее решение однородного уравнения дается формулой (26.3). Неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда выполнены условия (26.5), и в случае их выполнения общее решение неоднородного уравнения дается формулой (26.4).