28.2. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром типа Коши в пространствах Гёльдера.

Рассмотрим теперь следующее нелинейное сингулярное интегральное уравнение с комплексным числовым параметром

где — линия, введенная выше, — комплекснозначные функции комплексных переменных, ограничения на которые будут наложены ниже.

Пусть при значении параметра уравнение (28.5) имеет решение На Предположим, что при всех На удовлетворяющих неравенству

и для всех таких, что функции

удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а по переменным Пусть, далее, функции

также удовлетворяют тому же условию Гёльдера при тех же и и при

где

В этих предположениях имеем

причем пусть функции обладают следующими свойствами:

Пусть, кроме того, функции

нигде на в нуль не обращаются. Теперь уравнение (28.5) можно записать в виде

где В есть -оператор, и воспользоваться результатами § 27, в результате чего мы приходим к следующему предложению.

Теорема 29.1. Пусть выполнены перечисленные выше условия. Тогда

1) если то уравнение (28.6) имеет в единственное малое решение;

2) если то уравнение (28.6) имеет в единственное малое решение, если только выполнено дополнительных условий:

где — полная система линейно независимых решений союзного однородного линейного уравнения (см. (28.3));

3) если то уравнение (28.6) имеет семейство малых решений вида

где — произвольные непрерывные функции с достаточно малыми значениями;

4) если то задача определения малых решений уравнения (28.6) сводится к эквивалентной задаче: задаче отыскания малых решений уравнения разветвления (27.9) — системы числовых уравнений с неизвестными и параметром к.