32.3. Вырожденный и невырожденный случаи.

Рассмотрим сначала тривиальный (вырожденный) случай, когда все коэффициенты уравнения разветвления (32.14) равны нулю. В данном случае всякое X, достаточно близкое к является при достаточно малых собственным значением возмущенного оператора Соответствующие числу собственные элементы определяются при данном формулой (32.7), где пробегают фундаментальную систему решений системы (32.9). В общем случае можно утверждать лишь, что размерность собственного подпространства, отвечающего X, не превосходит и равна если в точке все функции обращаются в нуль. В частности, если то указанная размерность равна в точности и в качестве базиса в собственном подпространстве можно выбрать элементы

Линейная независимость системы, составленной из этих элементов при всех достаточно малых вытекает из линейной независимости системы элементов

Указанный случай всегда имеет место при когда

Приведем пример, показывающий, что вырожденный случай действительно возможен при возмущении фредгольмовского оператора.

Рассмотрим задачу на собственные значения:

Здесь фредгольмовский оператор в гильбертовом пространстве Н. Построим оператор Отсюда и из определения оператора В вытекает, что В можно задать также равенствами

Уравнение (32.15) эквивалентно системе

или системе

откуда получаем уравнение для определения у,

Так как Г (также и В) является изометрическим оператором, то , следовательно, при имеем

и уравнение (32.16) можно записать в виде

Заметим, что

Поэтому при

Отсюда следует, что уравнение (32.16) есть тождество при любых и X таких, что

Следовательно, при всех удовлетворяющих неравенству

спектр оператора заполняет сферу

Каждая точка X этой сферы является собственным значением, которому отвечает единственный с точностью до числового множителя собственный элемент

Всюду ниже исследуется лишь невырожденный случай, когда при достаточно малых Из метода диаграммы Ньютона в применении к уравнению разветвления (32.14) вытекает следующее предложение (см. п. 12.1).

Теорема 32.1. В невырожденном аналитическом случае при всех достаточно малых существует не более чем конечное число непрерывных по собственных значений оператора удовлетворяющих условию Каждому из них отвечает конечное число линейно независимых собственных элементов Все представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням е.

Ниже будут получены различные достаточные условия, конкретизирующие результаты этой теоремы.