ГЛАВА VII. Нелинейные уравнения в банаховых пространствах

В предыдущих главах теория ветвления решений нелинейных уравнений была построена для некоторых наиболее важных для приложений классов нелинейных задач. Однако круг задач, в которых применяется теория ветвления, все время расширяется, и вместо того, чтобы повторять рассуждения в каждом конкретном случае, несомненно имеет смысл дать изложение такой абстрактной теории, которая охватывала бы возможно широкие классы задач. Такая теория строится в данной главе для фредгольмовского случая, а в главе VIII — для нетеровского случая. При этом мы ограничиваемся банаховыми пространствами, что вполне достаточно (по крайней мере в ближайшем будущем) для приложений, хотя излагаемая теория переносится на локально выпуклые топологические пространства (см., например, М. М. Вайнберг, Я. Л. Энгельсон [1] и Я. Л. Энгельсон [1]).

§ 21. Некоторые вопросы теории линейных операторов в банаховых пространствах

21.1. Фредгольмовские операторы.

Пусть банаховы пространства. Обозначим через банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из в . Элемент назовем нулем оператора если он является решением уравнения

Множество всех нулей оператора В линейно и замкнуто, т. е. является подпространством в Назовем подпространством нулей оператора В, а размерность — числом нулей оператора В,

Рассмотрим неоднородное уравнение

Оператор называется нормально разрешимым, если выполняется одно из следующих двух условий: а) уравнение (21.2) разрешимо при любой правой части в пространстве сопряженном к существует множество функционалов такое, что для разрешимости уравнения (21.2) необходимо и достаточно, чтобы для любого

Здесь — значение линейного функционала на векторе Множество линейно. Если оно, кроме тогов замкнуто, то назовем его дефектным подпространством оператора В. Элементы будем называть дефектными функционалами оператора В, а размерность — дефектным числом оператора В.

Нормально разрешимый оператор В называется фредгольмовским или, короче, Ф-оператором, если число нулей оператора В и его дефектное число конечны и равны, т. е. если

Пусть В есть Ф-оператор с и пусть базис в а — базис в

Общее решение однородного уравнения (21.1) имеет вид

где с. — произвольные числа.

Условие разрешимости (21.13) неоднородного уравне-нения (21.2) можно теперь записать так: