18.2 Автономные системы с одной степенью свободы.

Пример 18.3. Рассмотрим задачу для уравнения

приняв нуль в качестве исходного решения порождающего уравнения. Согласно (17.14) решение этой задачи принимает вид

Отсюда

Подставляя (18.26) в уравнение (18.25) и сравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах относительно а и Я, мы получим рекуррентную систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных коэффициентов Решая эту систему с учетом начальных условий

мы находим первые коэффициенты ряда (18.26):

Подставляя в (18.26) найденные значения, получим

Отсюда и из (17.15) следует

Подставляя сюда вместо их ряды Тейлора,

получим окончательно

Данная система представляет собою уравнение разветвления рассматриваемой задачи. Методами § 5 могут быть найдены все вещественные малые решения системы (18.27). Каждое такое решение приводит к решению рассматриваемой задачи

При ряде дополнительных ограничений результаты §§ 16—18 соответствующим образом распространяются на случай квазилинейных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием (см. П. Г. Айзенгендлер и М. М. Вайнберг [5, 6]).