8.5. Многомерный случай ветвления.
Пусть 1 является 
-кратным собственным значением оператора 
ортонормированные собственные функции оператора А, принадлежащие числу 
ортонормированные собственные функции оператора А (см. (8.3)), принадлежащие 1. Подставляя значение 
из (8.8) в (8.1), получим
Полагая здесь
получим
Так как по лемме Шмидта 1 не является собственным значением оператора Л:
то существует резольвента Фредгольма 
ядра 
и уравнение (8.23) преобразуется к виду
Данное уравнение, если учесть вид 
(см. (8.2)), является простейшим, а потому при достаточно малых 
(см. теорему 7.4 и конец п. 7.7) оно имеет в классе непрерывных функций единственное
решение, и это решение представимо в виде
где положено, что интегро-степенная форма
Так же как в предыдущем пункте, возможные значения 
входящие в (8.24), определяются путем подстановки и 
из (8.24) в формулы (8.22). После такой подстановки получим
Преобразуем эту систему уравнений. Во-первых, так как 
— собственные функции оператора А, то
Подставляя сюда 
из (8,8) получим
Но в силу ортонормальности 
имеем
Отсюда и из предыдущего следует, что
Так как 
— резольвента Фредгольма ядра 
то из последнего равенства и формулы (8.4) имеем
Во-вторых, введем следующие обозначения:
где 
— фиксированная непрерывная функция. Тогда система уравнений (8.25) в силу формул (8.26) — (8.29) примет вид
Данная система уравнений также называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта.
Если в уравнении (8.1) положить
где 
— фиксированная непрерывная функция, то система (8.31) в силу (8.30) примет вид
Методы исследования системы (8.32) изложены в §§ 5 и 6.
