21.2. Специальные разложения пространств в прямые суммы подпространств.

Пусть В есть Ф-оператор, (см. (21.4)). Положим и пусть — базис в Согласно следствию из теоремы Хана — Банаха

существуют функционалы из такие, что

Введем оператор Р — проектор на для положим

Оператор Р порождает следующее разложение пространства в прямую сумму подпространств:

где — состоит из тех элементов для которых

Пусть далее — базис в По тому же следствию из теоремы Хана — Банаха существуют элементы из такие, что

Введем оператор — проектор в для положим

Оператор порождает следующее разложение пространства в прямую сумму подпространств:

Здесь подпространство, натянутое на элементы состоит из элементов для которых выполнены условия (21.6), откуда следует, что совпадает с областью значений оператора В.

Отметим еще, что при область значений Ф-оператора В равна Таким образом, область значений Ф-оператора замкнута. Пусть Будет ли справедливо равенство Легко убедиться, что та кое равенство выполняется тогда и только тогда, когда

. В этом случае без ограничения общности можно считать, что

Теперь

и является инвариантным подпространством оператора В.