35.2. Случай круглой пластины.

В качестве конкретного примера рассмотрим случай круглой пластины с осесимметричной нагрузкой причем мы ограничимся разысканием малых осесимметричных решений. Отметим, что аналогичную задачу (для кольцевой пластины с более общими краевыми условиями) рассмотрел И. И. Ворович [1], так что предлагаемый пример можно рассматривать как изложение его результата в иной, на наш взгляд, более простой форме. Нам представляется целесообразным повторить для круглой пластины приведенные выше построения, ибо здесь они особенно прозрачны, вычисления могут быть далеко проведены и в то же время этот случай имеет свои специфические особенности. Итак, теперь — круг радиуса Задача существенно упрощается и ставится следующим образом (Вольмир [1]): дана система обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь — — усредненная нагрузка. Будем разыскивать решения этой системы, удовлетворяющие следующим граничным условиям:

(защемление по контуру, на контуре задано радиальное напряжение

Сделаем в (35.4) и в (35.5) следующую замену неизвестных функций параметра

Далее обозначим через А дифференциальный оператор, даваемый на дважды непрерывно дифференцируемых

функциях удовлетворяющих граничным условиям, ограничено при следующей формулой:

После этой замены мы придем к следующей задаче для определения

Введем банаховы пространства Через обозначим пространство двумерных функциональных столбцов с дважды непрерывно дифференцируемыми на компонентами, для которых ограничены и и а норма введена равенством

Через обозначим банахово пространство двумерных функциональных столбцов с компонентами из и с естественной нормой. Теперь задачу (35.6) можно записать в виде уравнения (23.6) с операторами, действующими из Для этого достаточно воспользоваться матричными обозначениями

Возможны только два случая.

1) Оператор не находится на спектре. Так будет, например, если (пластина растянута по контуру). Тогда оператор В имеет ограниченный обратный (обратимы и А). Для достаточно малых значений к и существует единственное малое решение задачи, и оно представимо в виде сходящегося ряда по целым степеням и X.

2) Оператор находится на спектре (теперь необходимо пластина сжата по контуру). Для нахождения собственных значений имеем задачу

ограничено, и

Общее решение уравнения, удовлетворяющее первому граничному условию, имеет вид Для того чтобы выполнялось и второе граничное условие, необходимо

где — положительные нули функции Бесселя Все простые, и им отвечают собственные функции ортогональные на с весом

Таким образом, уравнение имеет решение

Так как оператор В совпадает со своим формально сопряженным оператором, то Поэтому условие разрешимости неоднородного уравнения где имеет вид

Уравнение разветвления, составленное для рассматриваемого случая, имеет вид (24.25). Вычислим его первые коэффициенты, определяющие число и вид малых решений.

Так как

Далее, (см. 24.6)). Для того чтобы найти нужно решить уравнение которое подробнее записывается так:

Отсюда где функция Грина оператора А. Теперь имеем

и, следовательно,

Точно так же имеем

Приближенно уравнение разветвления имеет вид