12.5. Описание решений в многомерном случае ветвления.

В § 6 было исследовано уравнение разветвления (12.6) в общем виде, т. е. при Здесь мы используем обозначения, определения и предложения § 6.

Теорема 12.6. Пусть для уравнения разветвления имеет место квазирегулярный случай (т. е. для Тогда, если не ассоциирован с единицей, то число малых решений уравнения (12.1) конечно (отлично от нуля) и каждое из них представимо в виде сходящегося (в некоторой окрестности точки ряда по целым или дробным степеням X. Если и то уравнение (12.1) не имеет малых решений.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 6.1 и следствия 12.1

При помощи теоремы 6.2 и леммы 12.1 устанавлив

Теорема 12.7. В вырожденном случае (см. определение 6.2) число малых решений уравнения (12.1) бесконечно.

Из теорем 12.6 и 12.7 вытекает

Следствие 12.2. Для того чтобы число малых решений уравнения (12.1) было конечным и отличным от нуля, необходимо и достаточно, чтобы для но .

Отметим еще, что если в условиях теоремы 12.6 каким-то способом получено решение (формальное) в виде ряда

по целым или дробным степеням X, то этот ряд в комплексном случае сходится в некоторой окрестности точки