23.3. Вывод уравнения разветвления с помощью леммы Шмидта.

Дадим другой вывод уравнения разветвления, имеющий то преимущество, что теперь не привлекаются к рассмотрению подпространства пространства и изучаемые операторы действуют во всем пространстве

Запишем уравнение (23.6) с помощью формулы (21.18) в виде эквивалентной ему системы

К уравнению (23.18), если рассматривать как параметр, можно применить теорему 22.1 о неявных операторах. Однако удобнее сначала немного преобразовать это уравнение. Сделаем в нем замену

Если учесть формулы (21.22), то для определения и мы получим уравнение

Это уравнение того же типа, что и уравнение (23.10) и имеет при всех достаточно малых единственное решение и Итак, уравнение (23.18) имеет единственное малое решение

Но это решение должно удовлетворять также уравнениям (23.19).

Учитывая формулы (21.7), получаем для определения следующую систему:

Эта система также представляет собою уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта, записанное в другой форме.

В самом деле, мы видели (см. (21.24)), что поэтому систему уравнений (23.22), если воспользоваться определением сопряженного оператора, можно записать так:

Наконец, учитывая формулу (23.20), получим

а это и есть уравнение разветвления в форме (23.15).