25.3. Двумерный случай ветвления.

Рассмотрим уравнение (25.1) при Тогда система (25.3) принимает вид

Данная система была изучена в § 5 (см. (5.1)), в котором было показано, что задача о малых решениях системы (25.8) сводится к исследованию уравнения (см. (5.4))

Используя теперь теорему 5.1, мы приходим к следующему предложению.

Теорема 25.1. Имеют место утверждения:

I. Если то уравнение (25.1) не имеет малых решений.

II. Если то уравнение (25.1) имеет конечное число малых решений, представимых в виде сходящихся рядов по целым или дробным степеням X.

III. Если или все коэффициенты системы (25.8) нули, то уравнение (25.1) имеет семейство решений, соответственно зависящее от одного или двух параметров.

В последнем случае возможны и формальные решения в виде расходящихся рядов. Из II и III вытекает, что условие необходимо и достаточно для того, чтобы число малых решений уравнения (25.1) было конечным.

Отметим, что изложенный метод позволяет выделить и все вещественные решения, как это было показано в примере 13.2 (см. частный случай этого примера, для которого были получены этим методом два вещественных решения (13.9)).