27.2. Случай n > 0, m = 0.

Положим в уравнении (27.1)

где и запишем это уравнение в вид

Мы воспользовались при этом определением оператора и тем, что Введем новое пространство параметров приняв за норму

По теореме о неявных операторах 22.1 найдутся положительные числа такие, что в шаре существует единственное решение уравнения (27.4)

Это решение определено и непрерывно при и удовлетворяет условию

Согласно формуле (27.3) уравнение (27.1) имеет решение

Если — базис в то имеем следовательно,

Так как мы разыскиваем малые решения , т. е. такие, что то положим , где произвольные функционалы с достаточно малыми значениями, непрерывные при и удовлетворяющие условию (Точнее, фиксируем положительные числа и пусть определены и непрерывны при Нами, следовательно, доказана

Теорема 27.1. Пусть оператор непрерывен и непрерывно дифференцируем по в окрестности точки , значения лежат в и пусть есть Н-оператор с -характеристикой где Тогда найдутся положительные числа такие, что в шаре уравнение (27.1) имеет при решение вида (27.7), где — произвольные функционалы, непрерывные при определенные при и такие, что

Замечание. Если оператор аналитический в то решение аналогично по каждому переменному но, понятно, может не быть аналогичной как функция у, так как не обязаны быть аналитичными.