§ 17. Периодические решения автономных систем
17.1. Задача Пуанкаре для автономных систем.
Рассмотрим систему
где 
— вектор из вещественного пространства 
— малый вещественный параметр, 
— голоморфные функции от 
со значениями в 
Пусть 
является 
-периодическим решением порождающей системы
Ставится следующая
Задача 
Найти все 
-периодические решения 
системы (17.1), удовлетворяющие условиям
При этом предполагается непрерывность 
.
Данная задача является более трудной по сравнению с аналогичной задачей, рассмотренной в § 15, для неавтономных систем, так как здесь и период Т (X) является неизвестной функцией параметра X.
Замечание 17.1. Заметим, что без ограничения общности можно считать, что
Действительно, полагая
где 
— скалярное произведение в пространстве 
мы будем иметь, что 
Отсюда по теореме Ролля имеем
или
Так как система (17.2) является автономной, то путем сдвига 
получим
т. е. что векторы 
ортогональны. Выберем теперь систему координат в 
так, чтобы выполнялось равенство (17.4). Тогда в силу ортогональности будет выполняться и (17.3). В дальнейшем мы будем предполагать, что равенства (17.3) и (17.4) выполнены.
