§ 23. Уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта

23.1. Постановка задачи.

Продолжим исследование уравнения (22.9)

в окрестности точки в предположении, что выполнено условие (22.11):

Как и в предыдущем параграфе, предполагается, что — нелинейный оператор со значениями в определенный и непрерывный в окрестности точки

Если в некоторой окрестности точки существует единственное решение уравнения (22.9), то назовем точку регулярной точкой этого уравнения. Теоремы о неявных операторах дают условия, достаточные для регулярности точки . Если для любого достаточно малого найдется которому отвечает по крайней мере два решения уравнения (22.9), то назовем точку точкой ветвления этого уравнения.

Наконец, если в достаточно малой окрестности точки уравнение (22.9) имеет только решение определенное лишь при то назовем точку точкой непродолжаемости.

В приложениях представляет интерес частный случай уравнения (22.9), а именно уравнение

где — нелинейный вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве Е, и — числовой параметр. Уравнение это всегда имеет тривиальное решение от которого могут ответвляться нетривиальные решения.

Число называется точкой бифуркации, если точка является точкой ветвлений уравнения (23.1). Таким образом, понятие точки бифуркации есть частный случай понятия точки ветвления.

Для уравнения (23.1) иногда пользуются терминологией линейных уравнений: его нетривиальные решения называют собственными векторами, а соответствующие значения — собственными значениями.

Общую задачу локального разыскания всех решений уравнения (22.9) естественно расщепить на две частные задачи:

Задача А. Найти всевозможные локальные продолжения решения по параметру у, т. е. найти решения , определенные на возможно более широких множествах из окрестности точки содержащих и не сводящихся к точке

Задача Б. Найти решения уравнения (22.9), определенные лишь при т. е. решения уравнения

близкие к

В связи с задачей Б представляет интерес следующее понятие.

Решение уравнения (23.2) называется изолированным, если существует окрестность точки в которой это уравнение не имеет решений, отличных от

В случае, когда точка регулярная, обе задачи А и Б имеют единственное решение.

Учитывая замену (22.14), мы без ограничения общности можем рассматривать вместо уравнения (22.9) уравнение

где

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь уравнение (23.3), где у — малый функциональный параметр.

Непрерывное на множестве содержащем точку решение назовем малым решением уравнения (23.3), если Ниже будет показано, что задача отыскания малых решений уравнения (23.3) эквивалентна задаче разыскания малых решений некоторой числовой системы уравнений с неизвестными и параметром у. Будут рассмотрены методы решения этой системы, которую по аналогии с главой II мы будем называть уравнением разветвления.