29.2. Краевые задачи на плоскости для эллиптических систем k-го порядка в пространстве Гёльдера.

Изложим сначала, следуя работе А. И. Вольперта [1], необходимые сведения из линейной теории.

Пусть — ограниченная область на плоскости переменных с замыканием и границей — А-кратно гладкой кривой Ляпунова — Г. Пусть — вещественные квадратные матрицы порядка заданные в причем при к удовлетворяют в условию Гёльдера с показателем ; если же то имеют в первые производные, удовлетворяющие условию Гёльдера с тем же показателем Ниже, говоря о непрерывности в смысле Гёльдера функции мы

будем понимать под этим, что удовлетворяет условию Гёльдера с показателем К.

Рассмотрим дифференциальное выражение

где — столбец высоты Дифференциальное выражение предполагается эллиптическим в смысле И. Г. Петровского [1]:

при любых любых вещественных не равных нулю одновременно.

Наряду с дифференциальным выражением рассмотрим граничное дифференциальное выражение

где — матрицы порядка — заданы на Г и имеют там непрерывные в смысле Гёльдера производные по дуговой абсциссе до порядка к

Пусть — -мерный функциональный столбец с элементами, определенными на непрерывными там в смысле Гёльдера, — функциональный столбец высоты с элементами, определенными на Г и непрерывными там в смысле Гёльдера.

Введем характеристические матрицы дифференциальных выражений и :

Будем говорить, что краевая задача

удовлетворяет условию 3. Я. Шапиро — Я. Б. Лопатинского,

если ранг матрицы равен У — для всех . Здесь где единичная матрица порядка — контур в полуплоскости охватывающий все корни Я-полннома лежащие в этой полуплоскости.

Обозначим через гёльдеровское пространство -мерных вещественных функциональных столбцов, имеющих непрерывные в смысле Гёльдера производные в через Ну, обозначим гёльдеровское пространство -мерных вещественных функциональных столбцов, непрерывных в смысле Гёльдера в а через обозначим гёльдеровское пространство -мерных вещественных функциональных столбцов, непрерывных в смысле Гёльдера на Г.

Оператор есть линейный ограниченный оператор из

А. И. Вольперт показал, что если выполнено условие Шапиро — Лопатинского, то оператор В является нетеровским. Он также нашел условие разрешимости неоднородной задачи

Как и в предыдущем примере, при наличии достаточной гладкости параметров задачи устанавливается связь условий разрешимости неоднородной задачи с решениями однородной сопряженной задачи.

Рассмотрим теперь следующую нелинейную краевую задачу:

где — -мерный столбец, -мерный столбец, компоненты которых суть непрерывно дифференцируемые функции поив окрестности точки непрерывные по и удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем X по х на и Г соответственно. Пусть, кроме того,

выполнены следующие условия:

Как и в предыдущих примерах, устанавливается, что задача (29.11) является конкретной реализацией общей задачи (27.1), где В в силу вышеизложенного есть -оператор, Следовательно, для краевой задачи (29.11) справедливы результаты § 27. Не представляет труда, в частности, перефразировать для (29.11) теоремы 27.1 — 27.2, что мы предоставляем читателю.

Можно, конечно, допустить зависимость и от производных и, а также, как в предыдущем пункте, рассмотреть общую нелинейную (возможно, не эллиптическую) систему, имеющую эллиптическое решение (в смысле И. Г. Петровского).