14.4. Исследование вспомогательного уравнения.
Исследование вспомогательного уравнения мы начнем с рассмотрения регулярного случая. Пусть 1 не является собственным значением оператора Т:
Тогда (см. п. 10.2) уравнение (14.9) имеет (при фиксированных малых значениях 
единственное малое решение, и оно представимо в виде сходящегося ряда по целым степеням X, т. е. в виде (10.9). Отсюда согласно предыдущему уравнению (14.1) имеет особое решение вида
Нами, следовательно, установлено предложение.
Теорема 14.1. Пусть выполнены условия:
1. 1 не является собственным значением ядра 
2. Либо ядро 
входящее в уравнение (14.4), положительно или квазиотрицателъно и к — нечетное число, либо 
— положительно определенное ядро.
3. 
— какое-нибудь ненулевое решение уравнения (14.5).
4. 1 не является собственным значением оператора Т, заданного равенством (14.10).
Тогда уравнение (14.1) имеет особое решение вида (14.11), где 
— непрерывные функции.
Отметим, что в условиях данной теоремы уравнение (14.1) может иметь бесчисленное множество особых решений вида (14.11), так как уравнение (14.7) имеет континуум ненулевых решений 
отвечающих значениям 
Пусть 1 — простое собственное значение оператора Т. Тогда, как и в § 10, мы для уравнения (14.9) составляем уравнение разветвления, совпадающее по виду с уравнением (12.4), и при его помощи получаем описание малых решений 
уравнения (14.9).
В тривиальном случае, т. е. когда все коэффициенты уравнения (12.4) равны нулю, уравнение (14.9) имеет бесчисленное множество малых решений 
(однопараметрическое семейство решений). Каждое такое решение, в силу соотношений (14.8) и (14.2), приводит к особому решению вида
уравнения (14.1).
Если в уравнении разветвления 
(см. примеры 12.2.1 — 12.2.6), то в комплексном случае каждое малое решение, в том числе и решения уравнения (14.9), равные нулю тождественно, приводит к особому решению уравнения (14.1), главный член которого имеет вид и 
. К таким же выводам нас приводят примеры 12.2.7 — 12.2.9. Нас, однако, здесь интересует лишь вещественный случай. В вещественном случае (см. пример 12.2.3) уравнение (14.9) может и не иметь малых решений, тогда при данном 
уравнение (14.1) может не иметь особых решений рассматриваемого вида.
Пусть, наконец, 1 — собственное значение кратности 
оператора Т. Тогда уравнение разветвления, составленное для уравнения (14.9), примет вид (12.6). В этом случае теоремы 12.6 и 12.7 приводят к различным утверждениям о малых решениях уравнения (14.9). Но, как мы
видели, если 
— малое решение уравнения (14.9), то
является особым решением уравнения (14.1).
Отметим еще, что построение особых решений рассматриваемого здесь вида фактически сводится к построению малых решений уравнения (14.9), т. е. к использованию приемов, изложенных в § 13. Правда, в отличие от приемов построения малых решений, рассмотренных в § 13, здесь возникает дополнительная трудность, связанная с построением ненулевого решения уравнения (14.5), аналитический вид которого зависит от аналитического вида ядра 
