30.4. Пример.
Приведем пример фредгольмовского оператора, имеющего А-жорданову цепочку бесконечной длины.
Пусть
— полная ортонормированная система в гильбертовом пространстве Н. Определим в Н линейный оператор В следующим образом:
Подпространство нулей
одномерно с базисным элементом
а область значений
состоит из элементов, ортогональных к
поэтому В есть Ф-оператор. Далее, из определения В следует, что он имеет жорданову
-жорданову) цепочку
, таким образом,
Из доказательства леммы 30.1 вытекает, что уравнение
имеет решение
Радиус абсолютной сходимости этого ряда равен 1, и, значит, спектр оператора В заполняет круг