33.3. Понятие обобщенной жордановой цепочки.

Пусть В — фредгольмовский оператор с числом нулей Обозначим через и соответственно нуль оператора В и его дефектный функционал.

Определение. Будем говорить, что имеет -жорданову цепочку длины если существует

линейно независимых элементов удовлетворяющих соотношениям

причем

Заметим, что в этом определении заключено требование разрешимости уравнений (33.14) и, следовательно,

Легко убедиться, что требование линейной независимости эквивалентно требованию линейной независимости элементов

где

Следующая теорема устанавливает связь между длиной -жордановой цепочки и числом решений класса уравнения (33.9).

Пусть — длина -жордановой цепочки нуля фредгольмовского оператора В, т. е.

Теорема 33.1. Пусть тогда существует ровно (с учетом кратности) однозначных решений класса уравнения (33.9). Все они представимы в окрестности точки (может быть, исключая точку сходящимися рядами по дробным степеням параметра X.

Доказательство. Покажем, что для коэффициентов уравнения разветвления (33.12) имеют место соотношения

Отсюда справедливость теоремы 33.1 будет следовать из теоремы 24.1 (не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю!) и из теоремы силу указанной эквивалентности соответствующих задач для уравнений (33.9) и (33.12). Докажем формулы (33.17). Для этого воспользуемся предложенным в п. 24.1 методом вычисления коэффициентов . В рассматриваемом случае уравнение (24.3) при упрощается и принимает вид

Из теоремы о неявных операторах 22.2 следует, что уравнение (33.18) имеет единственное решение , обладающее тем свойством, что при и что это решение можно найти в виде сходящегося ряда

Согласно результатам п. 24.1 (см. формулы (24.7) и (24.8)) имеем

Подставим ряд (33.19) в уравнение (33.18) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ?. В результате мы придем к рекуррентной системе уравнений для определения При этом в правой части уравнения полученной системы стоит нуль, если и выражение, не равное, вообще говоря, нулю, если (если то все правые части, вообще говоря, не нули). Эта рекуррентная система имеет вид

Сравнивая эти формулы с формулами (33.13) (см. также (33.16)), приходим к выводу, что Поэтому из формул (33.15) следует, что

а вследствие формулы Теорема доказана.