5.3. Частные случаи.

Пусть двумерное уравнение разветвления, заданное в регулярном виде

приведено к нормальному виду

Исключив из данной системы получим

или

Будем предполагать, что Так как функции обращаются в нуле в пуль и являются аналитическими в начале координат, то, как видно из (5.18), коэффициенты Отсюда следует, что Исследуем уравнение (5.19) в следующих двух предположениях:

Концы убывающей части диаграммы Ньютона будут в первом случае и , а во втором случае и . Так как убывающая часть диаграммы не может быть расположена выше отрезка, соединяющего ее концы, то в данном случае для построения убывающей части диаграммы и нахождения малых решений достаточно

знать коэффициенты

Во-первых, Далее, так как — коэффициенты уравнения разветвления, заданного в регулярном виде, то в силу формул (3.11) и (5.18) мы будем иметь

Если интересоваться вещественными решениями, то, как мы видели в иногда ириходится заменять в уравнении разветпения , на — X. При такой замене

Ввиду этого уравнение (5.19) примет в этом случае вид

где

Для коэффициентов последняя формула непосредственно следует из формул (5.20) — (5.24).

Пусть Так как согласно допущению то возможны следующие расположения убывающей части диаграммы Ньютона (рис. 13 и рис. 14).

Рис. 13.

Рис. 14.

В случае, указанном на рис. 13, имеем так что в комплексном случае уравнение (5.19) имеет четыре малых решения, и они имеют вид

где — корни уравнения

Если то корпи последнего уравнения простые и, согласно формуле (2.19), решения (5.27) принимают вид

При корни уравнения (5.28) кратные, так что для получения следующих членов разложения (5.27) нужно в уравнении (5.19) положить и продолжить иследование для (см. п. 2.5).

Перейдем к исследованию вещественного случая, т. е. когда коэффициенты и X вещественны. В этом случае (см. п. 2.6) при отыскании вещественных решений для определяющее уравнение имеет вид

а для решений, определенных для (см. формулу (5.26)), определяющее уравнение имеет вид

При уравнение (5.19) имеет столько малых вещественных решений в некотором полуинтервале справа от точки сколько вещественных корней у уравнения (5.28). Равным образом число малых вещественных решений уравнения (5.19), определенных для , совпадает с числом вещественных корней уравнения (5.28). При А 0 уравнения (5.28) и (5.28) не имеют вещественных решений, так что уравнение (5.19) не имеет малых вещественных решений. Наконец, случай требует дополнительного исследования, так как уравнения (5.28) и (5.28) имеют кратные корни.

В случае, указанном на рис. 14, . Отсюда следует, что уравнение (5.19) имеет четыре малых решения вида (5.27), где — корни уравнения

Данное уравнение имеет лишь простые корни, а потому см. формулу (2.19)) каждое из четырех решений имеет вид (5.29).

Выделим теперь вещественные решения. Пусть и X вещественны. Так как то уравнения (5.28) и (528) совпадают. Ввиду этого каждое вещественное решение будет определено в некоторой окрестности точки Далее, как видно из формулы (5.12), а так как по допущению то Отсюда следует, что если то уравнение (5.19) имеет два малых вещественных решения, определенных в некоторой окрестности точки а если то уравнение (5.19) не имеет малых вещественных решений. Заметим, что в данном случае так как мы допустили, что

Пусть Тогда т. е. (см. формулу (5.21)) или Ввиду этого формулы для вычисления коэффициентов

упрощаются:

где

Заметим, что из допущения следует, что , откуда имеем, что Отсюда вытекает, что отличны от нуля, если

Следовательно, для убывающей части диаграммы Ньютона возможны лишь следующие случаи.

Либо , так что убывающая часть диаграммы имеет вид, указанный на рис. 15, либо и тогда убывающая часть диаграммы состоит из одного отрезка (рис. 16). В первом случае (когда мы из диаграммы находим, что (для звена и (для звена ВС).

Каждое из звеньев и порождает два малых решения.

Именно, звено порождает два решения уравнения (5.19):

где — корни порождающего уравнения

Рис. 15.

Рис. 16.

При корни последнего уравнения простые и решения (5.31) принимают вид

Каждое из этих решений вещественно и определено в некоторой окрестности точки при и вещественных При уравнение (5.19) не имеет малых вещественных решений, порождаемых звеном Если то нужны дополнительные исследования.

Звено порождает следующие решения уравнения

где — корни определяющего уравнение

Так как оба корня этою уравнения простые, то решения (5.33) принимают вид

Если коэффициенты вещественны, то эти два решения вещественны и определены в некоторой правой (левой) полуокрестности точки при

В том случае, когда мы из диаграммы (см. рис. 16) находпм, что и уравнение (5.19) имеет четыре малых решения

где — простые корни определяющего уравнения

Из данного уравнения следует, что в случае вещественности коэффициентов два из решений (5.35) вещественны

и определены для когда а когда то они определены для (в силу равенства (5.25) и формулы (5.26)).

Займемся теперь нахождением компонент малых решений системы (5.17).

Мы видели, что все малые решения уравнения (5.19) представляются в виде сходящихся рядов по целым или дробным степеням X. Пусть — общий знаменатель показателей этих степеней. Положим и подставим в систему (5.17) выражения Получим

Составим ОНД зтих псевдомногочленов:

используя теоремы 4.6 и 4.7. Тогда наша задача об отыскании компоненты сведется к нахождению всех малых решений уравнения

Для нахождения можно воспользоваться формулой (4.19). Здесь результант

Согласно теореме 4.4 он должен равняться нулю, чтобы многочлен имел положительную степень. Рассмотрим первый субрезультант

Разумеется, других субрезультантов здесь нет. Возможны два случая: либо либо

Изучим сначала первый случай. Пусть

В этом случае формула (4.19) принимает вид

где определитель

Так как 0, то уравнение (5.36) эквивалентно уравнению

т. е. уравнению

Используя теперь формулы (3.10) и (3.11), мы преобразуем выражение (5.37) и уравнение (5.38). Именно:

и

где

Подставляя в (5.37 ) и (5.38) ранее найденные значения для мы сможем сделать выводы о компонентах

малых решений системы (5.17). Если то согласно замечанию а так как степени псевдомногочленов равны двум, то уравнение (5.36) принимает вид Исследуем теперь четыре частных случая, которые соответствуют рис. 13—16. Начнем с рассмотрения случая, указанного на рис. 13, предполагая, что этом случае Действительно, если мы допустим, что то из формул (5.20), (5.21), (5.24) будет следовать, что

а это противоречит нашему предположению, что

Полагая в и подставляя затем в выражение (5.37), получим

Отсюда и из (5.38) имеем

так что

или, после подстановки значения ,

Таким образом, каждому решению из (5.29) соответствует одно и только одно решение вида (5.39). При этом вещественным соответствуют вещественные , определенные для тех же X.

Рассмотрим случай, указанный на рис. 14, т. е. случай, когда . В этом случае так как если мы допустим, что то так же, как раньше» найдем, что , откуда

а противоречит условию. Раз то мы приходим к таким же выводам, как и в предыдущем случае.

Переходим к рассмотрению случая, указанного на рис. 15. Допустим, что и рассмотрим решения (5.32), соответствующие звену Подставляя решения в (5.37), получим

где — корни определяющего уравнения, т. е.

Отсюда и из формул (5.23) и (5.24) имеем

Следовательно,

и из (5.38) мы для определения получаем линейное уравнение

где

Из (5.40) следует, что

т. е. каждому решению (5.32) соответствует лишь одно решение При зтом вещественным отвечают вещественные Далее мы рассмотрим решения

соответствующие звену рис. 15. Путем замены и подстановки решений из (5.34) в (5.37), получим

так как в рассматриваемом случае Отсюда (учитывая, что следует, что уравнение (5.38) принимает вид

так что

Таким образом, каждому решению из (5.34) соответствует лишь одна компонента причем если вещественно, то и вещественно.

Рассмотрим, наконец, случай, указанный на рис. 16, т. е. когда но Мы видели, что в этом случае но (см. формулу (5.20)) и (см. формулу (5.22)) . Сделав в (5.35) замену и подставляя затем в выражение (5.37), получим

Отсюда и из (5.38) имеем

Следовательно,

причем вещественным из (5.35) соответствуют и вещественные компоненты

Найдем все малые решения для примера 5.1. Мы видели, что для этого примера При помощи формул (5.20), (5.24) и (5.21) находим, что

откуда

т. е. имеет место случай, соответствующий рис. 13, причем система (5.15) имеет четыре малых решения и все они комплексные. Так как к системе (5.15) мы пришли после преобразования примера, рассмотренного в конце п. 3.1, то мы приходим к выводу, что число малых решепий этого примера равно четырем и они имеют вид

где