12.7. Точки бифуркации в многомерном случае ветвления.

Предварительно заметим, что лемма 11.3 распространяется и на многомерный случай (ср. с замечанием в конце § 11). Так как условие

необходимо и достаточно для того, чтобы было решением уравнения (12.1) при любом к, то из предыдущего замечания и леммы 12.2 вытекает

Лемма 12.4. Каждое из следующих условий:

3) для необходимо и достаточно, чтобы было решением уравнения (12.1) при любом к.

Пусть вектор Далее, из лемм 12.1 и 12.4 вытекает

Лемма 12.5. Каждое из условий леммы 12.4 необходимо и достаточно для того, чтобы было решением уравнения (12.6) при любом к.

Пусть является решением уравнения (12.1) при любом к. Тогда, если все коэффициенты уравнения разветвления (12.6) равны нулю, то это уравнение, а в силу леммы 12.1 и уравнение (12.1), имеет бесчисленное множество нетривиальных малых решений. Ввиду этого является точкой бифуркации уравнения (12.1).

Если не все коэффициенты системы (12.6) равны нулю, то мы можем систему (12.6) записать в виде

где — максимальные возможные степени.

Определение 12.1. Уравнение (12.6) мы назовем бифуркационным, если выполнены условия: 1) нулевой вектор является решением системы (12.6) при любом X; 2) сама система (12.6) или она же, приведенная к регулярному виду, может быть записана в виде (12.15), где хотя бы для одного значения

Применим теперь к системе

прием, изложенпый в п. 6.2, и выделим многочлены

Предыдущие соображения и теоремы 6.1 и 6.2 приводят к предложению.

Теорема 12.10. Пусть в многомерном случае ветвления уравнение (12.6) является бифуркационным. Тогда, если при некотором уравнение (12.1) имеет точку бифуркации При этом, если для всех не —1, то точке бифуркации заведомо соответствует конечное число нетривиальных малых решений уравнения (12.1) и каждое из них представляется в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням X.