24.3. Квазирегулярный случай (задача А).

Пусть имеет место квазирегулярный случай, т. е. не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю. Это уравнение изучено нами в § 2 методом диаграммы Ньютона. Полученные там результаты приводят к предложению.

Теорем а 24.1. В квазирегулярном случае имеется только две возможности. Либо уравнение (24.1) не имеет при достаточно малых малых решений, либо это уравнение имеет при всех достаточно малых конечное число малых решений и все они представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням параметра X.

В п. 2. 7 рассмотрен ряд случаев расположения убывающей части диаграммы Ньютона, каждый из которых в применении к уравнению разветвления (24.2) приводит к различным конкретным предложениям о числе решений уравнения (23.3) и об их виде.

Приведем несколько таких предложений, справедливость которых вытекает из метода диаграммы Ньютона (соответствующие результаты и теорем 23.1 и 24.1.

Теорема 24.2. Пусть при . Тогда при всех достаточно малых уравнение (24.1) имеет ровно к (с учетом кратности) малых решений и все они представимы сходящимися рядами по дробным степеням X.

Доказательство. Возможны два случая. Если не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю, то длина убывающей части диаграммы Ньютона равна А, откуда следует утверждение теоремы.

Если но не все то убывающая часть диаграммы Ньютона имеет длину , кроме того, уравнение разветвления имеет множитель Таким образом, и во

втором случае уравнение (24.2) имеет к малых решений нетривиальщлх и тривиальных). Заметим, что теорема 24.2 так просто доказывается с помощью известной теоремы Руше (см., например, А. И. Маркушевич [1]).

Из теоремы 24.2 вытекает ряд простых следствий, соответствующих различным расположениям убывающей части диаграммы Ньютона, построенной для уравнения разветвления (24.2). Приведем некоторые из них.

Следствие 24.1. Пусть при Тогда уравнений (24.1) имеет всех достаточно малых ровно к малых решений. Все они различны и представимы сходящимися рядами вида

Для доказательства заметим, что здесь убывающая часть диаграммы состоит из отрезка, соединяющего точки и , которому соответствует значение показателя а корни простые (см. п. 2.4).

Следствие 24.2. Пусть при при причем Тогда уравнение (24.1) имеет при всех достаточно малых ровно к малых решений. Все они различны, причем I из них представимы сходящимися рядами вида (см. п. 2.7, случай III)

а к рядами вида

Следствие 24.3. Пусть Тогда (см. п. 2.7, случай IV) уравнение (24.1) имеет для всех достаточно малых ровно к малых решений. Все эти

решения различны и представимы сходящимися рядами вида

Следствие 24.4. Пусть при и

Тогда (см. п. 2.7, случай V) справедливо утверждение следствия 24.3.

Число таких следствий можно было бы увеличить, однако и приведенные выводы достаточно полно иллюстрируют случай, рассмотренный в теореме 24.2.

Пусть теперь все Это означает, что уравнение разветвления (24.2) содержит множитель , где — некоторое натуральное число. Сократив (24.2) на мы получим уравнение того же типа, к которому можно применить ту же методику. При этом, однако, возможен и новый случай, когда полученное после сокращения на уравнение уже не имеет малых решений. Проиллюстрируем это для случая (когда (24.2) имеет множитель X, но не допускает сокращения на ).

Теорема 24.3. Пусть но не все равны нулю. Если то для достаточно малых уравнение (24.1) малых решений не имеет. Если же

то уравнение (24.1) имеет при всех достаточно малых ровно к (с учетом кратности) малых решений и все они представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням X.

Доказательство проводится так же, как в п. 2.7. В первом случае уравнение (24.2) имеет после сокращения на X свободный член следовательно, не имеет малых решений. Во втором случае сократим уравнение на X, а затем при воспользуемся теоремой о неявных функциях, а при повторим рассуждения доказательства теоремы 24.2.

Заметим, что при можно сформулировать следствия, аналогичные следствиям 24.1-24.3.

Ограничимся приведенными результатами, ибо каждый конкретный случйй может быть до конца исследован при помощи диаграммы Ньютона.