30.3. Условия полноты А-жорданова набора.

Докажем сначала следующее предложение.

Лемма 30.1. Пусть В есть Ф-оператор с числом нулей Пусть, далее, существует число о такое, что для всех удовлетворяющих неравенству

оператор существует и ограничен; тогда все А-жордановы цепочки элементов имеют конечные длины.

Доказательство. Допустим противное, что при всех из круга (30.20) оператор существует и ограничен, но некоторый элемент имеет А-жорданову цепочку бесконечной длины т. е. для элементов этой последовательности выполнены равенства (30.4). Будем разыскивать тогда согласно замечанию 21.3 имеем , следовательно, откуда методом математической индукции находим

Отсюда следуют неравенства

из которых вытекает, что в круге ряд

сходится абсолютно и равномерно. Этот ряд при указанных значениях является решением уравнения

По условиям это уравнение может иметь лишь тривиальное решение при достаточно малых Мы пришли к противоречию. Лемма доказана.

Пусть В и А — операторы из причем В есть Ф-оператор с числом нулей

Теорема 30.1. Для того чтобы существовал полный А-жорданов набор из нулей В и -присоединенных к ним элементов, необходимо и достаточно, чтобы существовало число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству (30.20), оператор существовал и был ограничен.

Доказательство необходимости. Пусть существует полный А-жорданов набор оператора В. Покажем, что найдется число такое, что для всех из (30.20) уравнение

имеет единственное решение для любого Заметим, что если уравнение (30.21) разрешимо, то для его решения у необходимо должны выполняться условия

Для доказательства этих неравенств достаточно применить к обеим частям уравнения (30.21) функционалы и воспользоваться их ортогональностью к области значений оператора В. Построим теперь для оператора В оператор В, выбрав и так, чтобы выполнялись равенства (30.15) и (30.16); тогда для элементов А-жорданова набора будем иметь формулы (30.18).

Заменим уравнение (30.21) эквивалентной ему системой

Пусть теперь тогда оператор существует и ограничен и систему (30.22)

можно переписать в виде

Подставив у из первого уравнения этой системы в остальные получим систему линейных числовых уравнений с числовыми неизвестными

Мы воспользовались при этом тождеством и формулами (21.7). Определитель системы (30.25) равен

Вследствие формул (21.24) имеем

В силу линейного свойства определителя

Учитывая теперь формулы (30.14) и (30.18), приходим к выводу, что при

Поэтому найдется число такое, что для всех удовлетворяющих условию (30.20), , и, следовательно, система (30.24), а вместе с ней и уравнение (30.21), имеет единственное решение для любого

Доказательство достаточности. Пусть — какой-либо базис в . Построим для каждого жорданову цепочку , причем согласно лемме 30.1 все конечны. Далее построим

оператор В так, чтобы были справедливы формулы (30.18). Если то построенный А-жорданов набор полон. Пусть тогда к построенному А-жорданову набору можно присоединить элементы вида где числа определяются как всевозможные линейно независимые нетривиальные решения следующей алгебраической однородной линейной системы уравнений с неизвестными и определителем, равным нулю:

Пусть — одно из нетривиальных решений этой системы. Определим число где берется по тем номерам для которых Произведем перестройку жордановой цепочки элемента положив

и добавим к этой перестроенной цепочке элемент

Поступая так же со всеми линейно независимыми решениями системы (30.26), мы придем к новому --жорданову набору

причем хотя бы для

Если то полученный А-жорданов набор полный. Если же этот определитель равен нулю, то наши рассуждения можно повторить. После конечного числа шагов мы получим полный А-жорданов набор; иначе оказалось бы, что хотя бы один элемент имеет А-жорданову цепочку бесконечной длины, что противоречило бы лемме 30.1. Теорема доказана.

Заметим, что приведенное доказательство достаточности дает одновременно и способ построения полного А-жорданова набора исходя из любого А-жорданова набора.