9.2. Регулярный случай.

Пусть 1 не является собственным значением оператора Т. Тогда существует резольвента Фредгольма ядра и уравнение (9.3) имеет единственное решение, представимое согласно формуле (8.4) в виде

Это уравнение, учитывая значения и может быть записано в виде системы

Подставляя сюда вместо правые части равенств системы (9.1), мы сведем систему (9.1) к следующему простейшему виду:

где интегро-степенные формы такого же вида, что и линеины

относительно Так же, как в п. 7.4, положим

и тогда получим

При помощи этих неравенств так же, как в п. 7.6, составляются последовательные приближения Лихтенштейна [1]

вводится обозначение

и из квадратного уравнения

выбирается тот корень х, который стремится к нулю вместе с Тогда при достаточно малом значении выполняется неравенство откуда для всех

будет

Наконец, при достаточно малом будет

откуда следует сходимость последовательных приближений (9.8) к непрерывному решению системы (9.5), а значит, и к непрерывному решению и системы (9.1), причем

Повторяя теперь рассуждения мы найдем, что

где

Использование неравенств (9.6), (9.7) и (9.9) приводит к выводу о единственности этого решения, когда удовлетворяет вышеупомянутым требованиям малости.

Отметим, что если в прямой сумме двух одинаковых пространств непрерывных функций с нормой рассмотреть операторы как один оператор, то при помощи неравенств (9.6) и (9.7) устанавливается сжатость этого оператора в новом пространстве.

Отсюда так же, как в мы приходим к выводу, что при достаточно малом система (9.5), а значит и (9.1), имеет в классе непрерывных функций единственное решение. Это решение стремится к нулю при и представимо в виде регулярно сходящегося интегро-степенного ряда. Если вместо регулярной сходимости правых частей системы (9.1) требовать лишь их равномерной сходимости (см. то единственное решение представимо в виде равномерно сходящегося интегро-спепенного ряда.