24.2. Вырожденный случай.

Переходя к изучению одномерного случая, займемся сначала вырожденным случаем, когда все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю. Иными словами, равенство теперь выполняется тождественно и, следовательно, уравнение (24.3) имеет свободный малый параметр . Решение этого уравнения дается формулой (24.4).

Рассмотрим в этом случае задачи А и Б (см. п. 23.1). Полагая в (24.3) , мы видим, что задача Б имеет бесчисленное (однопараметрическое семейство с параметром множество решений

при всех достаточно малых

Задача А также имеет бесчисленное множество решений. В самом деле, положим в формуле (24.4)

где — произвольная непрерывная функция X, определенная в окрестности точки и такая, что Тогда ряд

дает решение задачи А.

Замечание 24.1. Естественно, решение (24.9) не всегда является аналитической функцией X, достаточно в качестве 1 (X) взять неаналитическую функцию, например .

Замечание 24.2. В рассматриваемом случае могут возникнуть так называемые формальные решения. Пусть ищутся решения уравнения (24.1) в виде всевозможных рядов по целым или дробным степеням параметра X. В вырожденном случае среди таких рядов могут оказаться

расходящиеся ряды. В самом деле, ряд (24.4), где

обращает уравнение (24.1) в тождество, если формально приравнять коэффициенты при одинаковых степенях X, но радиус сходимости этого ряда равен нулю.