13.5. Уравнение разветвления для уравнения Некрасова.

Исследуем вопрос о малых решениях уравнения (13.12). При малых имеет место равенство

Ввиду этого уравнение (13.12) принимает вид

или

Данное уравнение имеет тривиальное (нулевое) решение при любом значении параметра Так как характеристическими числами ядра являются

то точками ветвления (точнее, точками бифуркации — см. п. 12.3) нулевого решения могут лишь служить значения параметра Покажем, что в каждой точке от тривиального решения ответвляется единственное нетривиальное решение уравнения (13.13), а значит, и уравнения (13.12). Доказательство мы проведем для случая аналогично оно проводится и для случая при

Полагая , мы из (13.13) получим

где содержит члены выше третьего порядка. Так как 1

является собственным значением первой кратности ядра

то мы имеем одномерный случай ветвления. Собственному значению 1 отвечают нормированные собственные функции

Полагая

мы сведем уравнение (13.14) к виду

Так как 1 не является собственным значением линейного интегрального оператора, стоящего в левой части равенства (13.15), то к уравнению (13.15) применимы рассуждения и выкладки п. 10.3. Однако так как уравнение (13.15) отличается по виду от уравнения (10.4), то здесь придется повторить выкладки п. 10.3.

Так как в уравнении (13.15) ядро

то резольвента Фредгольма этого ядра (см., например, Э Гурса [4], стр. 121) принимает вид

Отсюда и из (13.15) согласно формуле (8.4) следует

где

или

Данное уравнение (см. п. 8.4 и формулу (8.4)) при достаточно малых имеет единственное малое решение, и оно представимо в виде

с непрерывными коэффициентами Подставляя (13.17) в (13.16), мы получим рекуррентную систему вида (10.16) для коэффициентов

Выпишем первые коэффициенты. Предварительно заметим, что для всех к. Данное утверждение доказывается так же, как лемма 11.3. Далее, находим, что

Аналогично находим, что

Подставляя (13.17) в формулу для мы придем к уравнению разветвления (12.4), причем коэффициенты будут вычисляться по формулам (10.17). В частности, мы находим, что

Так как для всех , то убывающая часть диаграммы Ньютона имеет вид, указанный на рис. 17. Данная диаграмма показывает, что уравнение разветвления имеет единственное нетривиальное малое решение.

Рис. 17.

Так как уравнение

принимает вид

то малое нетривиальное решение уравнения разветвления принимает вид

причем могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Решение уравнения Некрасова можно построить при помощи (13.17) и (13.18). Мы, однако, поступим иначе. При помощи диаграммы Ньютона мы получили информацию, что уравнение разветвления имеет единственное малое нетривиальное решение и что оно представимо в виде сходящегося ряда по целым степеням А, т. е. в виде (13.18). Отсюда и из (13.17) следует, что уравнение Некрасова имеет единственное малое нетривиальное решение и оно представимо в виде сходящегося ряда но целым степеням , т. е.

причем могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Подставляя ряд (13.19) в уравнение (13.14) и полагая

получим после сравнения коэффициентов при одинаковых степенях

где — нелинейные операторы от но при операторы являются линейными относительно

Из первого уравнения рекуррентной системы (13.20) следует, что

а затем из условия разрешимости второго уравнения системы (13.20), т. е. из ортогональности получается квадратное уравнение для определения но у этого квадратного уравнения коэффициент при равен нулю, так что Из второго уравнения системы (13.20) следует, что

причем из условия разрешимости третьего уравнения получается, что

Так же находим, что

Как видно из (13.20),

причем находится из условия разрешимости линейного относительно уравнения.

Таким образом, получаем решение уравнения Некрасова (13.12):