23.5. Уравление разветвления в аналитическом случае.

Предположим, что оператор — аналитический в некоторой окрестности начала координат. Применим тогда в рассуждениях п. 23.3 вместо теоремы 22.1 теорему 22.2. В результате окажется, что все функции аналитические по своим аргументам (по у это аналитические функционалы) и уравнение разветвления

можно записать в виде

где — мы будем называть их коэффициентами уравнения разветвления — суть степенные функционалы порядка I при и числа при При этом из теоремы 22.2 следует, что существуют положительные числа такие, что при степенные ряды, стоящие в левой части уравнений (23.22), сходятся абсолютно и равномерно.

Фиксируем где и рассмотрим уравнение (23.22) на луче тогда уравнение (23.22) на этом луче примет такой вид:

Более простым (и достаточно важным в приложениях) является случай, когда — числовой параметр. Тогда, полагая запишем уравнение разветвления (23.23):

Ниже мы ограничиваемся в основном изучением такого уравнения разветвления. В случае функционального

параметра на каждом луче уравнение разветвления имеет вид (23.24).

Замечание 23.1. Обратим внимание на следующее важное обстоятельство: коэффициенты уравнения разветвления не зависят от у. Мы увидим, что в ряде важных случаев число малых решений уравнения разветвления определяется только этими коэффициентами и, значит, не зависит от у (от луча, на котором уравнение разветвления рассматривается).