32.4. Одномерный случай.

Здесь мы предполагаем, что и рассматриваем невырожденный аналитический случай.

Теперь уравнение разветвления принимает вид

где — базисные элементы в и соответственно, а собственные элементы определяются формулой

где вместо следует подставить малые решения уравнения (32.17). Исследуем сначала случай, когда Будем считать, что оператор В и жорданова цепочка построены специальным образом: так, чтобы выполнялись условия (31.6) и (31.7), причем в последнем условии Теперь для элементов жордановой -жордановой) цепочки справедливы формулы (31.11) также при

Из формулы (31.7) при и из формул (32.17) и (32.14) при непосредственно видно, что

Заметим, что при можно принять ибо (ср. п. 21.2).

Рассмотрим сначала случай Здесь для исследования уравнения (33.17) можно применить обычную теорему 1.2 о неявных функциях. Равенство имеет место, например, когда В — эрмитов оператор в гильбертовом пространстве . Приведем соответствующий результат.

Теорема 32.2. Пусть тогда существует единственное непрерывное по для достаточно малых значений собственное значение оператора и ему отвечает единственный собственный элемент Функции являются аналитическими.

Замечание. В частном случае, когда В и эрмитовы и — вещественный параметр, собственное значение указанное в теореме 32.2, вещественно.

Перейдем теперь к более содержательному случаю, когда длина жордановой цепочки элемента

Здесь мы воспользуемся методом диаграммы Ньютона (см. п.2.7), который приводит к различным предложениям о собственных значениях и собственных функциях оператора

Из формул (32.20) и (32.7) вытекает

Теорема 32.3. Пусть выполнено условие тогда при всех достаточно малых существует ровно (с учетом кратности) непрерывных по собственных значений оператора таких, что и все они представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням е. Каждому отвечает собственный элемент определяемый по формуле (32.18) и представимый сходящимся рядом по тем же дробным степеням, что и

Рассмотрим несколько частных случаев теоремы 32.3.

Предположим, что (см. формулу (32.12)) . Тогда диаграмма Ньютона, составленная для уравнения (32.17), имеет убывающую часть, состоящую из одного отрезка, соединяющего точки и . Следовательно, показатель равен — Далее, определяющее уравнение имеет вид

Отсюда вытекает

Следствие 32.1. Если , то собственные значения и элементы, указанные в теореме 32.3, представимы рядами по степеням причем при

Заметим, что под следует понимать последовательно все значений корня степени. Далее, согласно определению . В частности, для вещественного случая вещественны) можно сделать следующий вывод: если нечетно, то существует одно собственное значение (и один собственный элемент); если же четно, то в полуокрестности, где существует два собственных значения, а в полуокрестности, где , собственных значений нет.

Приведем пример, когда диаграмма может содержать убывающую часть, состоящую более чем из одного отрезка.

Теорема 32.4. Пусть выполнены условия: при пусть Тогда при всех достаточно малых существует ровно различных непрерывных по собственных значений оператора причем одно собственное значение представимо сходящимся рядом по целым степеням собственных значений представимы сходящимся рядом по степеням Каждому отвечает собственный элемент представимый сходящимся рядом по тем же степеням что и соответствующее ему

Доказательство. Заметим, что и при и при убывающая часть диаграммы Ньютона, построенной для уравнения разветвления (32.17), состоит либо из одного отрезка, соединяющего точки и (так будет, если все либо из двух отрезков: указанного выше и отрезка, соединяющего точки и , где — номер первого отличного от нуля члена в последовательности Первомуотрезку отвечает показатель а второму отрезку в любом случае — целочисленный показатель. Утверждение теоремы следует, таким образом, из рассуждений п. 2.7.

Замечание. При помощи диаграммы Ньютона находим приближенные формулы при одна пара имеет вид )

при имеем

Остальные пар имеют вид )

если

Если в условиях теоремы 32.4 имеем то для всех достаточно малых Легко убедиться, что если то для того, чтобы необходимо и достаточно выполнение условия (см. п. 31.1).

В вещественном случае (в условиях теоремы 32.4) при четном в окрестности точки существует два различных собственных значения При нечетном в той полуокрестности точки где существует одно собственное значение, а в той полуокрестности, где существует три различных собственных значения оператора Рассмотрим еще случай, когда (требование здесь несущественно) и . Здесь убывающая часть диаграммы Ньютона состоит из отрезка, соединяющего точки (0,2) и (2,0), которому отвечает значение показателя 1. Корни определяющего уравнения простые, так как Значит, существует два собственных значения и элемента, аналитически зависящие от .

В вещественном случае это утверждение сохраняется при . Если то собственных значений оператор не имеет.

Указанным выше методом можно получить и другие аналогичные утверждения. Нам представляется, что приведенные предложения в достаточной степени иллюстрируют случай Приведем результат, показывающий, что это предположение несущественно (известные нам классические методы теории возмущений всегда основываются на предположении конечномерности корневого подпространства оператора В и, следовательно, не позволяют изучить случай

Теорема 32.5. Пусть Если то не имеет собственных значений таких, что при достаточно малых . Если и существует такое, что — первый отличный от нуля коэффициент в последовательности то при всех достаточно малых оператор имеет различных собственных значений представимых сходящимися рядами по степеням

Доказательство. Убывающая часть диаграмммы Ньютона отсутствует при и состоит из одного

отрезка, соединяющего точки и , при причем в рассматриваемом случае она не достигает оси абсцисс. Утверждение теоремы следует теперь из результата п. 2.7 и из формулы (32.18).

Пример. Покажем, что описанные в теореме 32.5 случаи действительно возможны. Рассмотрим задачу на собственные значения

в гильбертовом пространстве Н, где В — оператор, построенный в п. 31.4 (см. также п. 32.3). Мы видели, что эквивалентно условиям Зададим сначала оператор А формулами при к Имеем тогда Поэтому и согласно теореме 32.5 при достаточно малых оператор собственных значений таких, что не имеет.

Зададим теперь оператор А так:

Имеем согласно п. 32.3

Из теоремы 32.5 следует, что при всех достаточно малых оператор имеет единственное собственное значение при , ему отвечает собственный элемент