§ 6. Многомерный случай ветвления

Многомерный случай ветвления изучался в ряде работ (см., например, Лобачев [1], Грэйвс [1], Лефшец [1], Вайнберг и Треногий [1, 3], а также обзорную работу Вайнберга и Айзенгендлера [1], Иглиш [1]).

Здесь мы будем придерживаться работы Айзенгендлера и Вайнберга [1], а также работы Айзенгендлера [4].

6.1. Кронекеровский метод исключения.

Рассмотрим систему отмеченных многочленов

над кольцом . Для нахождения всех малых решений системы

мы воспользуемся кронекеровским методом исключения (см., например, Ван-дер-Варден [2], §§ 77, 78) и составим

линейную комбинацию многочленов

где — произвольные комплексные числа.

Общий делитель многочленов не может зависеть от ибо не содержит Ввиду этого общий делитель многочленов должен быть общим делителем всех многочленов Разумеется, справедливо обратное утверждение: общий делитель многочленов будет делителем многочленов

Пусть является ОНД многочленов Для того чтобы , как многочлен относительно имел положительную степень, необходимо и достаточно (см. теорему 4.4), чтобы

где — результант многочленов Разлагая результант (см. (4.9)), получим

где — одночлены вида — произведение коэффициентов многочленов аналитические функции в начале координат такие, что так как последний столбец в опеределителе для (см. (4.9)) обращается в пуле в нуль.

Отсюда видно, что равенство результанта нулю при цроизвольных значениях вектора возможно лишь тогда, когда

Теперь мы будем рассуждать примерно так же, как в п. 5.1. Если то равенства (6.3) выполняются тождественно и, согласно теореме

имеет положительную степень относительно Мы можем написать, что

и система (6.1) распадается на уравнение

и систему

При этом согласно теореме — отмеченный многочлен относительно Полагая в равенстве (6.4)

где — параметры, получим

Применяя к данному уравнению диаграмму Ньютона, мы получим одно или несколько семейств малых решений

расположенных по целым или дробным степеням и зависящих от произвольных параметров Система (6.1) исследуется так же, как система (6.1), когда результант (6.2) не равен нулю тождественно. Исследуем этот случай. Пусть

Тогда (см. теорему 4.4) ОНД многочленов а значит ОНД всех многочленов ассоциирован с единицей. Допустим, что в этом случае система (6.3) имеет решения

Подставляя эти решения в систему отмеченных многочленов получим систему

для которой результант ибо удовлетворяют системе (6.3). Отсюда согласно теореме 4.4

многочлены , а значит и многочлены имеют ОНД

с положительной степенью относительно

Так как

то, найдя из уравнения

решения , мы получим, что функции удовлетворяют системе (6.1). Разумеется, если представляются в некоторой окрестности в виде сходящихся рядов по целым или дробным степеням X, обращающихся в нуль при то будет представляться в некоторой окрестности точки в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням X. Полученный результат мы сформулируем в виде следующего предложения.

Лемма 6.1. Для того чтобы система (6.1) была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы система (6.3) была разрешима, где — аналитические функции в начале координат, удовлетворяющие условию

Система функций не содержит неизвестного Ее мы приведем к нормальному виду и продолжим процесс исключения, имея в виду утверждение леммы 6.1.

Отметим, что кропекеровский метод исключения применим и тогда, когда система многочленов не приведена к нормальному виду.

Приведем такой пример. Пусть

Применим к данной системе метод исключения Кронекера. Составим линейную комбинацию многочленов

и

Тогда результант относительно многочленов

где .

Отсюда согласно лемме 6.1 имеем

Данная система имеет общий множитель. Приравнивая его нулю, находим, что Отсюда и из равенства следует, что исходная система имеет четыре однопараметрических семейства решении

Параметром здесь служит