11.5. Некоторые свойства коэффициентов уравнения разветвления.

Предложения, аналогичные леммам 11.1, 11.2 и 11.3, имеют место и для коэффициентов многомерного уравнения разветвления. Для простоты мы рассмотрим двумерный случай

Лемма Пусть

Тогда

для

для — биномиальные коэффициенты).

Доказательство. Из формул (10.13) следует, что в условиях леммы . Учитывая данные равенства и полагая мы из равенства (10.21) получим

Так как порядок правой части данного равенства относительно не ниже к, то в левой части этого равенства должно быть

при

Ввиду этого предыдущее равенство принимает вид

Из данного равенства видно, что одночлены, входяпще в его правую часть, порядок которых относительно и меньше чем получатся лишь из выражения

Ввиду этого путем сравнения одинаковых одночленов (относительно в обеих частях последнего равенства получаем

где

Далее, из (11.14) получаем, что при

Из равенств (11.15) и (11.16) согласно формулам (10.23) и (11.9) вытекают утверждения леммы.

Отметим, что аналогичное предложение имеет место и в случае где — размерность уравнения разветвления (10.24).

Отметим еще, что лемма 11.2 сохраняется и для коэффициентов многомерного уравнения разветвления. Именно, если выполнено условие (10.5), то при имеют место равенства