2.4. Исследование уравнения разветвления. Случай простых корней определяющего уравнения.

В данном и следующем пунктах мы покажем, как с помощью диаграммы Ньютона находятся все малые решения уравнения разветвления

т. е. непрерывные решения этого уравнения , обращающиеся в нуль при или равные нулю тождественно. При этом мы исключим тривиальный случай, когда все коэффициенты

Рис. 6.

В этом случае уравнение (2.1) имеет бесчисленное множество малых решений, так как ему удовлетворяет произвольная функция , в частности, непрерывные функции, удовлетворяющие условию

Как было отмечено, малые решения уравнения (2.1) определяются убывающим участком диаграммы Ньютона. Если

то точка служит началом, а точка концом убывающего участка диаграммы (см. рис. 6).

Так как нас интересуют малые решения, определенные в некоторой окрестности или полуокрестности точки то левую часть уравнения (2.1), т. е. , можно предварительно сократить на допустимую степень . В дальнейшем мы будем предполагать, что такое сокращение произведено и что после этого сокращения так как, если то уравнение не имеет малых решений.

Пусть Тогда согласно подготовительной теореме Вейерштрасса (Бохнер и Мартин [1], стр. 259, см. также теорему 3.3) в некоторой окрестности начала координат

где — аналитическая функция в начале координат, причем — отмеченный многочлен степени т. е.

где — аналитические функции в точке удовлетворяющие условию

Так как то, как видно из (2.13), малые решения уравнения (2.1) совпадают с малыми решениями уравнения

Если то диаграмма Ньютона, построенная для , будет иметь вид, указанный на рис. 6, и при ее помощи мы построим все малые решения уравнения (2.14), число которых равно . Эти решения либо различны, либо частично совпадают. Хотя многочлен однозначно определяется подготовительной теоремой Вейерштрасса, его можно не знать, так как для определения малых решений уравнения (2.14) мы можем воспользоваться убывающей частью диаграммы, построенной для уравнения (2.1), ибо малые решения уравнений (2.1) и

(2.14) совпадают. Для определения членов ряда (2.4) мы построим убывающий участок диаграммы Ньютона, соответствующий положительным (см. рис. 6). Пусть найдено при помощи отрезка Для определения коэффициента и построения ряда (2.4) мы перепишем (2.1) в виде

где — другие из построенных точек, оказавшиеся на рассматриваемом отрезке диаграммы Ньютона. По построению имеем . Пусть — наибольший общий делитель натуральных чисел Тогда Из определения (см. п. 2.1) непосредственно имеем

Ввиду этого, если положим в (2.15)

то получим

или

где в силу соотношений Отсюда при имеем, после сокращения на

Допустим, что данное уравнение имеет простые корни Тогда уравнение (2.17) принимает

а значит, Следовательно, по теореме 1.2 о неявных функциях

а значит,

или

Таким образом, если уравнение (2.18), которое назовем определяющим для данного отрезка, имеет простые корни, то по формуле (2.19) мы получим различных решений, т. е. столько различных малых решений, какова длина проекции на оси абсцисс соответствующего отрезка диаграммы. Все эти решения расположены по положительным возрастающим дробным степеням К (с общим знаменателем и каждое из этих решений сходится в некоторой окрестности точки

В этом случае, следовательно, нами доказаны теоремы 2.2 и 2.3.

Если определяющие уравнения, соответствующие всем отрезкам убывающей части диаграммы Ньютона, имеют простые корни, то задача будет решена. Мы найдем все малых решений уравнения (2.1).

Отметим еще, что для вычисления входящих в ряды (2.19), можно воспользоваться способом неопределенных коэффициентов, т. е. подставить (2.19) в (2.1), собрать члены с одинаковыми степенями и приравнять нулю коэффициенты при них. При этом каждый коэффициент выразится через коэффициенты где

к и через предыдущие коэффициенты путем применения лишь четырех арифметических действий (см., например, Гурса [2], стр. 81).