25.4 Общий случай.

Здесь мы рассмотрим уравнение (25.1) при Так как для малых решений это уравнение эквивалентно системе (25.2) — (25.3), то задача отыскания всех малых решений уравнения (25.1) сводится к задаче отыскания всех малых решений уравнения разветвления (25.3), которая была изучена в § 6.

Так же, как в § 6, построим для уравнения разветвления (25.3) многочлены

каждый из которых либо является отмеченным многочленом, либо ассоциирован с единицей 1), и рассмотрим квазирегулярный и вырожденный случаи (см. определения 6.1 и 6.2). Теоремы 6.1 и 6.2. приводят к следующему предложению.

Теорема 25.2. Имеют место утверждения:

1. Если то уравнение (25.1) не имеет малых решений.

2. Если в квазирегулярном случае не ассоциирован с 1, то уравнение (25.1) имеет конечное (отличное от нуля) число решений и каждое из них представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням

3. Если для уравнения разветвления (25.3) имеет место вырожденный случай или все функции то уравнение (25.1) имеет бесчисленное множество решений.

Отметим, что в условиях утверждения 3 уравнение (25.1) имеет бесчисленное множество малых решений, представимых в виде сходящихся рядов по целым или дробным степеням X, бесчисленное множество решений, равных нулю при и представимых в виде расходящихся рядов по целым или дробным степеням параметра X, и бесчисленное множество малых решений, не представимых в виде рядов.

Отметим еще, что если в условиях утверждения 2 получено формальное решение уравнения (25.1) в виде ряда по целым иди дробным степеням X, то этот ряд необходимо является сходящимся в некоторой окрестности (в вещественном случае, быть может, в некоторой полуокрестности) точки Это — полезное для приложений замечание, так как в прикладных задачах обычно решение уравнения (25.1) ищется в виде формального ряда, а для доказательства его сходимости строятся мажоранты.