32.6. Многомерный случай.

Здесь рассматривается аналитический случай при причем предполагается также, что уравнение разветвления собственного значения не обращается в тождество (не все в (32.14) равны нулю). Кроме того, для простоты мы ограничим рассмотрение предположением о существовании полного жорданова (-жорданова) набора из нулей оператора В и присоединенных (-присоединенных) к ним элементов.

Напомним, что результат основной теоремы 32.1 справедлив и без этого дополнительного предположения. Следующая теорема устанавливает связь между числом элементов полного жорданова набора из нулей В и присоединенных к ним элементов и числом непрерывных собственных значений оператора удовлетворяющих условию

Теорема 32.6. Пусть Ф-оператор В имеет полный жорданов набор из элементов Тогда при всех достаточно малых существует (с учетом кратности) собственных значений оператора Все они представимы сходящимися рядами по дробным (или целым) степеням .

Доказательство. Покажем, что в уравнении разветвления но . Заметим, что есть коэффициент при или, что то же, коэффициент при в

По линейному свойству определителя имеем

где

Если хотя бы при одном то по определению жордановой цепочки при . С другой стороны, при имеем согласно (31.14). Теперь утверждение теоремы вытекает из метода диаграммы Ньютона

Введем далее одно важное понятие. Будем говорить, что в задаче о собственных значениях и элементах

возмущенного оператора имеет место полное снятие вырождения, если

1) существует полный жорданов набор из нулей оператора В и присоединенных к ним элементов длины

2) длина проекции убывающей части диаграммы Ньютона, составленной для уравнения разветвления собственного значения, равна

3) указанное уравнение разветвления не имеет кратных корней.

Теорема 32.7. Пусть имеет место полное снятие вырождения; тогда при всех достаточно малых в имеет различных собственных значений и каждому из них отвечают единственный (с точностью до числового множителя) собственный элемент

где единственное с точностью до множителя нетривиальное решение системы (32.9) при определенное при всех достаточно малых в и не равное нулю при

Доказательство. Первая часть теоремы следует из теоремы 32.6 и определения полного снятия вырождения. Покажем, что ранг матрицы равен Допустим противное, что указанный ранг меньше Это означает, что всякие строк матрицы линейно зависимы. Отсюда и из формулы для производной определителя следует, что как сумма определителей, каждый из которых имеет линейно зависимых строк. Но это противоречит условию теоремы, что все корни при достаточно малых простые. Следовательно, указанный ранг равен Решив теперь систему (32.9) и сократив, если это потребуется, ее решение на некоторую степень получаем утверждение теоремы.

Понятие полного снятия вырождения оправдывается тем обстоятельством, что построенные нами собственные элементы не могут иметь присоединенных элементов,

так как при достаточно малых размерность корневого подпространства оператора также равна (см., например, Данфорд и Шварц [1]). Приведем один конкретный результат, доказанный для случая матриц М. И. Вишиком и Л. А. Люстерником [1] с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Полный жорданов набор будем считать расположенным в следующем порядке. Пусть первые элементов имеют жорданову цепочку длины следующие элементов имеют жорданову цепочку длины наконец, последние элементов имеют жорданову цепочку длины Весь жорданов набор состоит, очевидно, из элементов.

Представляется удобным ввести две целочисленные функции целочисленных аргументов , по формулам

Очевидно, имеем

Кроме того, доопределим при при так, чтобы

Возьмем на плоскости некоторую прямоугольную систему координат и рассмотрим ломаную линию соединяющую последовательно точки есть выпуклая ломаная, ибо , где — угол, образованный звеном с отрицательным направлением оси абсцисс, монотонно убывает с возрастанием Действительно, в силу формул (32.33) — (32.35) имеем

и так как

Лемма 32.2. Пусть существует, полный жорданов набор и он упорядочен указанным выше образом, и пусть коэффициенты уравнения разветвления (32.14) таковы, что

Тогда убывающая часть диаграммы Ньютона, построенной для (32.14), совпадает с введенной выше ломаной Доказательство. Достаточно доказать, что для точек первого квадрата с целочисленными координатами, лежащих левее ломаной

По определению

где — индексы) — коэффициенты в разложении

По линейному свойству определителя

где

Заметим, что согласно определению

Поэтому наибольшее при котором возможно неравенство равно Покажем, что точка с координатами лежит на Уравнение прямой, на которой лежит звено есть

и точка лежит на этой прямой. Это рассуждение можно провести для общего случая. Наименьшее значение при котором возможно неравенство , определяется так. Число единственным образом представляется в виде

(числа и определяются по также однозначно). Тогда указанное значение определяется формулой

если меньше этого значения, ибо тогда все определители, входящие в выражение для содержат по крайней мере один нулевой столбец.

Далее, уравнение прямой, содержащей звено имеет вид

и точка лежит, очевидно, на этой прямой. Этим установлено, что левее нет точек, для которых Лемма доказана.

Непосредственным следствием леммы, теоремы 32.7 и метода диаграммы Ньютона является следующее утверждение.

Теорема 32.8. Пусть существует полный жорданов набор, он упорядочен указанным выше образом, и пусть выполнены равенства (32.35). Пусть, наконец, следующие I алгебраических уравнений

где значок означает, что суммирование ведется по всем

и удовлетворяющим соотношению

не имеют кратных корней. Тогда при всех достаточно малых имеет ровно различных собственных значений к каждому из которых отвечает единственный собственный элемент причем все к представимы в виде

определяются формулами (32.32) и также разлагаются в ряды по степеням