9.3. Случай ветвления.

Пусть 1 является -кратным собственным значением оператора Т (см. (9.3)),

его ортонормированные собственные функции, принадлекащие числу — ортонормированные собственные функции сопряженного оператора Т:

принадлежащие тому же собственному числу 1. Рассмотрим новый оператор Т:

где

По лемме Шмндта 1 не будет собственным значением оператора Т, а потому, пользуясь соотношением (9.11), мы можем переписать уравнение (9.3) в виде

Полагая

получим

или, если обозначить через резольвенту Фредгольма ядра

Данное уравнение, учитывая значения и

(кликните для просмотра скана)

Данная система имеет тот же вид, что и система (9.5), и отличается от нее лишь тем, что помимо функционального аргумента здесь имеются еще параметры Ввиду этого так же, как в предыдущем пункте, мы находим, что последняя система при достаточно малых имеет в классе непрерывных функций единственное решение и это решение имеет вид

(см. скан)

где При этом использованы обозначения

так что для интегро-степенных форм имеем

Возможные значения параметров входящих в формулы (9.13), получаются после подстановки и из (9.13) в (9.12).

Исходя из (9.12), напишем, что

Подставляя сюда и из (9.13), мы после преобразования получим

Преобразуем это выражение. Так же, как в п. 8.5, мы находим

Полагая затем

и учитывая, что

мы из (9.14) получим

В данной системе среди членов первой степени нет таких, которые содержат первые степени параметров

Система (9.15) представляет собою поэтому уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта рассматриваемой задачи.

Если положить в системе где — фиксированная функция, — параметр, то путем введения обозначений

уравнение разветвления рассматриваемой задачи примет вид

Данная система исследована в §§ 2, 5, 6.