8.3. Лемма Шмидта.
Пусть 1 является 
-кратным собственным значением оператора А (см. формулу (8.3)) 
— ортонормированные собственные функции оператора А, принадлежащие числу 1. Согласно теории линейных интегральных уравнений 1 будет собственным аначением сопряженного оператора А:
той же кратности, так как ядро 
непрерывно. Пусть 
— ортонормированные собственные функции оператора А, принадлежащие числу 1. Рассмотрим теперь оператор 
где
(а — сопряженное с а комплексное число).
Для нового оператора А справедлива Лемма Шмидта. Единица не является собственным значением оператора 
Доказательство легко проводится от противного. Допустим, что 
— собственная функция оператора 
принадлежащая числу 1, т. е.
Подставляя сюда 
получим
Так как 1 является 
-кратным собственным значением оператора А, то правая часть последнего равенства должна быть ортогональна всем функциям 
,
т. е.
Отсюда в силу ортогональности функций 
имеем
и равенство (8.9) принимает вид
Данное равенство показывает, что 
— собственная функция оператора А, а потому
Умножив обе части этого равенства на 
мы в силу (8.10) получим, что 
Полученное противоречие доказывает лемму.
