33.4. Свойства некоторых многочленов.

В п. 32.5 при отыскании собственных значений и собственных элементов возмущенного линейного оператора методом неопределенных коэффициентов были введены многочлены Оказывается, что эти многочлены, а также некоторые более общие многочлены играют существенную роль в задаче о возмущении линейного уравнения малым нелинейным слагаемым. В этом пункте будут введены упомянутые многочлены и установлены их основные свойства.

Как и в п. 32.5, введем при многочлены от переменных как коэффициенты в формальном разложении

Докажем, что эти многочлены удовлетворяют некоторой общей формуле сложения, частным случаем которой является формула (32.25).

Лемма 33.1. Для любых натуральных , удовлетворяющих неравенству а Р имеет место равенство

для любых для которых Доказательство. Рассмотрим многочлен

Имеем

Методом математической индукции устанавливается

формула

Полагая в этой формуле , а затем полагая и учитывая, что получим утверждение леммы. Введем теперь более общие многочлены зависящие также от переменных и определенные для всех натуральных , удовлетворяющих неравенствам .

Положим по определению

где

В частности, имеем

Далее, согласно формулам (33.22), (33.23) и (32.23)

Точно так же имеем

Наконец, если воспользоваться формулой (32.24), то получим

где — некоторые многочлены. Для нас важно лишь то обстоятельство, что они не зависят от

Для многочленов также справедлива некоторая формула сложения, превращающаяся в формулу (33.22) при

Лемма 33.2. Для любых натуральных таких, что где

справедлива формула

Доказательство. Вычислим сначала и

Если то по формулам (33.24) имеем

Теперь, исходя из определения многочленов получим

где

Поэтому согласно формуле сложения (33.22) и определению имеем , что и требовалось доказать.

Лемма 33.3. В условиях леммы 33.2 справедлива формула

Доказательство. Положим

По лемме 33.2. имеем Поэтому формула (33.30) будет доказана, если будет доказано, что

Рассмотрим выражение . Если для какого-нибудь номера имеем то

а так как то все остальные Но тогда в силу неравенств будет при Наконец, так как Таким образом, формула (33.31), а вместе с ней и лемма 33.3 доказаны.