6.3. Квазирегулярный случай ветвления.

Определение 6.1. Если выполнено условие

то мы скажем, что имеет место квазирегулярный (или невырожденный) случай ветвления.

В квазирегулярном случае имеет место следующее предложение.

Теорема 6.1. Пусть имеет место квазирегулярный случай, т. е. для Тогда, если не ассоциирован с единицей, то число малых решений уравнения разветвления (6.5) конечно и отлично от нуля, причем компоненты каждого малого решения представляются в некоторой окрестности точки в виде сходящихся степенных рядов по целым или дробным степеням X. Если 1, то уравнение разветвления (6.5) не имеет малых решений.

Доказательство. Пусть отмеченный многочлен не ассоциирован с единицей.

Тогда все малые решения системы определяются из уравнения

и число их (с учетом кратности) равно т. е. отлично от нуля.

При помощи диаграммы Ньютона мы найдем, что каждое малое решение уравнения (6.10) представляется в некоторой окрестности точки в виде сходящегося ряда

При этом и коэффициенты найдутся методом, указанным в Каждое решение (6.11) мы подставим в систему которая после замены примет вид

где — отмеченные многочлены относительно степени которых в силу замечания 6.1 не меньше единицы. В силу леммы 6.1 система имеет малые решения и (см. п. 6.1 и теорему 4.4) все они найдутся из уравнения

где общий наибольший делитель многочленов

При помощи диаграммы Ньютона мы найдем все малые решения уравнения (6.12). Поступая так с каждым решением (6.11), мы определим все малые решения системы , используя преобразование (6.8), найдем Разумеется, и представляют собою в некоторой окрестности точки сходящиеся степенные ряды, расположенные по степеням где — натуральное число. Каждое решение мы подставим в систему которая после замены примет вид

С данной системой мы поступим так же, как с системой и продолжим процесс восстановления неизвестных. Таким путем мы получим все малые решения системы (6.5). Ясно, что число их будет конечным, отличным от нуля и компоненты каждого из них будут представлены в некоторой окрестности точки в виде сходящихся рядов по целым или дробным степеням К. Этим доказано первое утверждение теоремы. Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что если то система не имеет малых решений, и тогда, согласно лемме 6.1 (см. также замечание 6.1), предыдущие системы также не имеют малых решений. Теорема доказана.