§ 25. Многомерный случай ветвления

В данном параграфе мы исследуем задачу о ветвлении малых решений уравнения

в предположении, что выполнены следующие условия: К — числовой параметр, - -линейные операторы из банахова пространства в банахово пространство элемент из , В — фредгольмовский оператор, у которого число нулей При этом мы будем придерживаться работ П. Г. Айзенгендлера [1, 3], П. Г. Айзенгендлера и М. М. Вайнберга [1]. Сначала мы рассмотрим случай а затем общий случай.

25.1. Переход к эквивалентной системе.

Согласно лемме 12.1, утверждения которой справедливы и в абстрактном случае (см. теорему 23.1), для малых решений уравнение (25.1) эквивалентно системе

где — базис подпространства нулей оператора В. Система (25.2) — (25.3) получается из предыдущего следующим образом. Из (25.1), учитывая (23.18) и (21.22), мы после применения оператора находим, что

При достаточно малых правая часть есть оператор сжатия (относительно а потому уравнение (25.4) имеет единственное малое решение. Это решение мы ищем в виде ряда (25.2), коэффициенты которого определяются путем подстановки (25.2) в (25.4) и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях (т. е.

методом неопределенных коэффициентов). Например, при мы находим

Сходимость ряда (25.2) следует из принципа сжатых отображений (см. теорему 7.3) или непосредственно из теоремы о неявных операторах 21.2.

Подставляя теперь (25.2) в (23.19) и учитывая формулы (21.24) и (21.7), получим (25.3), где

При этом функции Ф; являются аналитическими в начале координат и