§ 32. Ветвление собственных значений и собственных элементов фредгольмовских операторов

Пусть , причем является собственным значением оператора А с собственным подпространством размерности Рассмотрим оператор и предположим, что это есть Ф-оператор.

Пусть, далее, — малый комплексный параметр: непрерывен по в равномерной операторной топологии, причем Задача теории возмущений состоит в следующем: найти собственные значения оператора такие, чтобы при , а также собственные элементы, отвечающие этим собственным значениям.

Задаче этой посвящена обширная литература (см., например, Данфорд и Шварц [1]). Нашей целью является применить к исследованию этой задачи методы теории ветвления, изложенные выше для нелинейных уравнений (см. В. А. Треногин [5]).

32.1. Вывод уравнения разветвления.

Пусть у — собственный элемент оператора отвечающий собственному значению По определению это означает, что

Если воспользоваться обозначением и обозначением

то равенство (32.1) можно переписать в виде

Введем, как обычно, в рассмотрение систему элементов образующую базис в биортогональную к ней систему функционалов систему функционалов образующую базис в и биортогональную к ней систему элементов Построим оператор Шмидта обратный к которому обозначим через Г. Уравнение (32.3) заменим эквивалентной ему

системой уравнений

Первое уравнение этой системы можно записать так:

Вследствие непрерывности в равномерной операторной топологии при всех удовлетворяющих неравенству

оператор существует и ограничен. Поэтому при ей удовлетворяющих (32.6), из уравнения (32.5) находим

Подставляя это выражение в последние уравнений системы (32.4), приходим к следующей системе для определения

Учитывая биортогональность систем а также то обстоятельство, что запишем систему (32.8) в виде

где

Система (32.9) является однородной линейной системой алгебраических уравнений с неизвестным, и для того, чтобы она имела нетривиальное решение (собственный элемент (32.7) не может равняться нулю), необходимо и достаточно, чтобы

Это и есть уравнение для определения поправок к собственному значению Мы будем называть его уравнением разветвления собственного значения

Из наших рассуждений следует, что формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между собственными значениями оператора и корнями уравнения разветвления (32.11).

Для того чтобы найти соответствующие элементы — корень уравнения (32.11)), следует подставить в систему (32.9), найти все ее линейно независимые решения и подставить каждое из них и в формулу (32.7). Таким путем будут найдены все собственные элементы, отвечающие