1.2. Общее исследование задачи о неявных функциях.

Пусть функции определены и достаточно гладки в некоторой окрестности точки Без ограничения общности мы можем считать, что

так как путем замены общий случай сводится к данному. Мы также будем предполагать, что

Рассмотрим систему

и поставим задачу об отыскании всех непрерывных решений

данной системы, удовлетворяющих условию

и определенных в некоторой окрестности начала координат или в некоторой области, для которой начало координат является предельной точкой. Такие решения мы будем называть малыми.

Если данная задача (1.1) — (1.2) имеет единственное (хотя бы локальное) решение, то мы скажем, что нулевое (при решение системы (1.1) продолжается. В противном случае, т. е. если система (1.1) не имеет малых решений или имеет более одного малого решения, мы будем говорить о ветвлении нулевого решения (или о ветвлении малых решений).

Перейдем к общему исследованию задачи (1.1) — (1.2).

Учитывая гладкость функций мы для краткости запишем систему (1.1) в матричной форме:

где

— прямоугольная матрица с размерами

— прямоугольная матрица с размерами

суть столбцевые матрицы, причем где] — какая-нибудь норма конечномерного пространства.

Пусть — ранг матрицы В. Мы будем предполагать, что если Ясно, что

Без ограничения общности можно считать, что отличный от нуля минор порядка матрицы В расположен

в ее левом верхнем углу, что мы и будем всюду предполагать.

Возможны три случая.

Первый случай,

В этом случае система (1.1) имеет вид

Перенеся члены с в правую часть, получим

По предположению квадратная матрица обратима, а потому, считая малыми параметрами и учитывая малость х, мы по теореме 1.1 о неявных функциях находим

Здесь в качестве можно выбрать любые непрерывные функции от обращающиеся в нуль при Этим доказана следующая

Теорема 1.3. Если ранг матрицы В равен то задача (1.1) — (1-2) имеет решение, зависящее от произвольных непрерывных функций аргументов обращающихся в нуль при

Второй случай,

В этом случае система (1.1) также имеет вид (1.5). Возьмем первые уравнений системы (1.5).

Так как по предположению квадратная матрица обратима, то по теореме 1.1 о неявных функциях из первых уравнений системы (1.5) найдем

Найденные значения должны удовлетворять также последним уравнениям системы (1.5), т. е.

Полученные соотношения (1.6) определяют то множество значений на котором определено локальное решение Это множество может состоять лишь из точки (0, 0, 0). Мы пришли к следующему предложению.

Теорема 1.4. Если ранг матрицы В равен то локальное решение задачи (1.1) — (1.2) единственно. Область его существования определяется соотношениями (1.6).

Третий случай, . В этом случае система (1.1) также имеет вид (1.5). Так как по предположению матрица обратима, то, считая малыми параметрами и учитывая малость х, мы путем применения к первым уравнениям системы (1.5) теоремы 1.1 о неявных функциях находим

Подставляя эти решения в последние уравнений системы (1.5), получим для определения следующую систему уравнений:

Назовем систему (1,7) уравнением разветвления по причинам, которые будут выяснены ниже, Относительно системы (1.7) справедлива следующая

Лемма 1.1. В системе (1.7) отсутствуют члены первого порядка, содержащие и нулевого порядка, т. е. матрица Якоби системы (1.7) при равна нулю. Доказательство. Введем обозначения:

С помощью этих обозначений система (1.5) примет вид

Из (1.8) находим

Подставляя в (1.9), имеем

Представим теперь матрицу В в блочном виде:

По условию

Помножим слева первую блочную строку матрицы В на и вычтем ее из второй блочной строки. При этом ранг не изменится, и мы получим

Применяя элементарные преобразования к последней матрице, получим

где — единичная матрица порядка Отсюда следует, что и система (1.5) принимает вид

т. е. в левой части системы (1.7) нет свободных членов, а среди линейных слагаемых нет членов с Лемма доказана.

Из данной леммы вытекает, что система (1.7), вообще говоря, имеет неединственное решение относительно Вот почему система (1.7) названа уравнением разветвления. Мы приходим к предложению.

Теорема 1.5. Если то число малых решений задачи (1.1) — (1.2) равно числу малых решений уравнения разветвления (1.7), а область определения этих решений также определяется системой (1.7).