27.4. Основной случай. Уравнение разветвления.

Пусть Полагая , где и и проектируя уравнение (27.1) на и на как и в п. 23.2, придем к системе

Исключая из нее и с помощью теоремы о неявных операторах 22.1, придем к уравнению (23.14) для определения V.

Это и есть уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта. В рассматриваемом случае это уравнение можно записать как систему числовых уравнений с числовыми неизвестными и функциональным параметром

Как и в п. 23.2, убеждаемся, что

Если — аналитический оператор в то функции аналитичны по своим переменным в окрестности начала координат. Если, кроме того, Е — комплексная плоскость — числовой комплексный параметр), то уравнение разветвления (27.9) с учетом формул (27.10) можно записать в следующем виде:

Для исследования этого уравнения можно воспользоваться методикой, разработанной в главах I и II.

Между малыми решениями уравнения (27.1) и малыми решениями уравнения разветвления (27.9) (при дополнительных предположениях — уравнения (27.11)) формула (27.7) устанавливает взаимно однозначное соответствие.