21.3. Сужение оператора и обобщенная лемма Шмидта.

Если то Ф-оператор В имеет ограниченный обратный оператор . В этом случае уравнение (1.2) имеет единственное решение

Пусть тогда В не имеет обратного оператора. Обозначим через сужение оператора В на Оператор устанавливает между этими подпространствами взаимно однозначное соответствие. Тогда по теореме Банаха (см., например, Люстерник, В. И. Соболев [1], стр. 259) существует ограниченный обратный оператор

Рассмотрим уравнение (1.2). Если то это уравнение неразрешимо. Пусть т. е. выполнены условия (21.6), тогда его общее решение имеет вид

где — произвольные числа.

Конструкция Шмидта (см. п. 8.3, лемма Шмидта) легко переносится на банаховы пространства.

Введем оператор

где соответственно функционалы из и элементы из введенные в п. 21.1.

Лемма 21.1 (обобщенная лемма Шмидта). Оператор существует и ограничен.

Доказательство. Очевидно, Рассмотрим уравнение Оно эквивалентно следующей системе:

рименяя к первому ее уравнению функционалы получим с помощью (21.9)

Теперь первое уравнение в (21.19) можно записать так;

Согласно формуле (21.17) отсюда следует

Но х должен удовлетворять и остальным уравнениям системы (21.19). Используя их и применяя к последнему равенству функционалы получим, пользуясь формулами (21.7) и (21.20)

Но поэтому, согласно (21.10), Следовательно,

Лемма доказана.

Замечание 21.1. Оператор В является расширением оператора В на Действительно, на операторы

совпадают, ибо если то выполнены условия (21.10) и из формулы (21.18) следует

Замечание 21.2. Имеют место формулы

Эти формулы вытекают из (21.18).

Замечание 21.3. Уравнение (21.2), если (выполнены условия (21.6)), имеет частное решение

Для доказательства заметим, что вследствие замечания 21.1, отыскание решения в эквивалентно решению уравнения

Отметим, что обобщенная лемма Шмидта вытекает из известной теоремы С. М. Никольского [1], и наоборот. Докажем, например, второе утверждение.

Теорема 21.1 (С. М. Никольский [1]). Для того чтобы оператор был Ф-оператором, необходимо и достаточно, чтобы , где А имеет ограниченный обратный а V вполне непрерывен.

Доказательство. По обобщенной лемме Шмидта , где К — конечномерный оператор. Но конечномерный оператор вполне непрерывен, и необходимость доказана. Для доказательства достаточности заметим, что уравнения (21.1) и (21.2) эквивалентны уравнениям

где для которых применима известная теория Рисса (см. А. А. Люстерник, В. И. Соболев [1], Л. В. Канторович, Г. П. Акилов [1]).