ГЛАВА VI. Ветвление периодических решений дифференциальных уравнений

Основное содержание данной главы связано с решением задачи Пуанкаре о периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 15. Периодические решения неавтономных систем

15.1. Постановка задачи.

Пусть — евклидово пространство (вещественное или комплексное) размерности — некоторая область пространства — параметр (вещественный или комплексный), — окрестность нуля комплексной плоскости, а в вещественном случае А — окрестность или полуокрестность нуля и

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, записанную в векторной форме:

где — искомый вектор пространства — заданные вектор-функции со значениями в непрерывные по совокупности аргументов и -периодические по Мы будем предполагать,

— голоморфная по х функция в области

— голоморфная функция по т. е. что компоненты этих функций разлагаются в сходящиеся ряды

в некоторой окрестности произвольной точки и . Пусть — какое-нибудь -периодическое решение порождающей системы

Ставится задача о нахождении при достаточно малых всех непрерывных и -периодических решений системы (15.1), удовлетворяющих условию

Данная задача восходит к Пуанкаре [1], предложившему общий подход для ее решения. Сам Пуанкаре и многие другие авторы ограничились в своих исследованиях рассмотрением различных частных случаев сформулированной задачи (см. И. Г. Малкин [1], а также Чезари [1], где указана библиография). Сравнительно недавно Лефшец [1, 2] предложил воспользоваться некоторым видоизменением кронекеровского метода исключения для решения сформулированной задачи в общей постановке. Эта идея Лефшеда была развига для решения поставленной задачи в работах П. Г. Айзенгендлера и М. М. Вайнберга [2—4], в которых существенно использовался алгебраический аппарат, изложенный в §§ 2—6.