15.6. Описание решений в многомерном случае ветвления.

Пусть Используя обозначения § 6, мы для системы (15.9) составим псевдомногочлены

При помощи теорем 6.1 и 6.2 мыприходим к следующим предложениям.

Теорема 15.5. Пусть для не ассоциирован с единицей. Тогда от заданного -периодического решения порождаюгцего уравнения (15.2) ответвляется конечное число непрерывных -периодических решений уравнения (15.1), причем компоненты этих решений представимы в некоторой окрестности точки в виде сходящихся рядов (15.14).

Теорема 15.6. Если для к то поставленная задача не имеет решений т. е. -перио-дическое решение уравнения (15.2) не имеет непрерывных -периодических продолжений по .

Теорема 15.7. Если при некотором не ассоциирован с единицей, то от заданного -периодического решения порождающего уравнения (15.2) ответвляется конечное число -параметрических семейств -периодических решений уравнения (15.1).

Теорема 15.8. Если все коэффициенты уравнения разветвления (15.9) равны нулю, то от заданного -перио-дического решения уравнения (15.2) ответвляется лишь одно -параметрическое семейство -периодических решений (15.1).

Отметим, что в условиях теоремы 15.5, т. е. в квазирегулярном случае (см. определение 6.1), функции входящие в ряды (15.4), могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Если ряды (15.14) рассматривать

как компоненты формальных решений, то так же, как в мы приходим к предложению.

Теорем квазирегулярном случае каждое -периодическое формальное решение поставленной задачи (для уравнения является и настоящим решением.