§ 8. Общее интегральное уравнение Ляпунова—Шмидта
В данном параграфе исследуется нелинейное интегральное уравнение Ляпунова — Шмидта
где
Функции и 
и ядра К предполагаются непрерывными (комплексозначными или вещественными). Отметим, что более общий случай, когда в левой части равенства (8.1) содержится 
вместо и 
где 
— непрерывная и отличная от нуля функция (а значит, ее модуль ограничен снизу положительным числом), сводится к уравнению (8.1) путем деления на 
Рассмотрим в пространстве непрерывных функций 
линейный ограниченный оператор А:
Будут изучены следующие два случая:
1. Регулярный случай, когда единица не является собственным значением оператора А. В этом случае уравнение (8.1) сводится к уравнению вида (7.10), а значит (см. п. 7.6), при достаточно малом 
оно имеет в
классе непрерывных функций единственное малое решение и это решение представимо в виде регулярно (или равномерно) сходящегося интегро-степенного ряда.
2. Случай ветвления (когда единица является собственным значением оператора А). Как увидим, в этом случае возможно ветвление нулевого решения уравнения (8.1).
Мы будем говорить об одномерном случае ветвления, если 1 — простое собственное значение оператора А, и о многомерном случае ветвления, если 1 — собственное значение кратности 
. Как увидим, в первом случае мы получим одномерное уравнение разветвления (см. конец § 1), а во втором случае уравнение разветвления будет состоять из системы 
уравнений.
8.1. Регулярный случай.
Пусть 1 не является собственным значением оператора А (см. (8.3)).
Тогда для любой непрерывной функции 
интегральное уравнение
имеет единственное непрерывное решение и оно определяется по формуле
где 
— резольвента Фредгольма ядра 
Подставляя сюда вместо 
правую часть уравнения (8.1), мы получим
Полагая здесь
мы получим, что уравнение (8.1) приводится к виду
Данное уравнение принципиально не отличается от уравнения (7.10), а потому оно, а значит и уравнение (8.1), имеет единственное непрерывное малое решение при достаточно малом 
(см. пп. 7.5 и 7.6). Это решение представимо в виде равномерно (регулярно) сходящегося интегро-степенного ряда вида (7.11), если правая часть уравнения (8.1) сходится равномерно (регулярно).
Отметим, что для числа 
, о котором упоминается в теореме 7.4, может быть получена оценка.
