4.3. Примитивный ОНД.

Здесь мы покажем, как находится степень и вид примитивного ОНД.

Пусть и примитивный ОНД

Разумеется, т. Если то, очевидно,

где с — содержание многочлена Ввиду этого мы будем предполагать, что

Так как — примитивный ОНД, то в кольце найдутся многочлены такие, что

причем согласно теореме 4.4 результант

Из теоремы 4.4 следует и обратное утверждение. Если многочлены удовлетворяют соотношениям (4.11) и (4.12), то — примитивный ОНД многочленов стапени .

Для нахождения степени многочлена мы воспользуемся понятием субрезультанта.

Определение субрезультантом двух многочленов называется определитель, получаемый вычеркиванием из результанта этих многочленов первых и последних строк, а также первых и последних столбцов.

Например, если то имеем определитель девятого порядка, определитель седьмого порядка и т. д. (см. рис. 11).

Рис. 11.

Лемма 4.4. Имеет место равенство

Доказательство. Пусть

Сравнивая коэффициенты в (4.11) с учетом (4.10) и (4.14), находим

Эти значения мы подставим в определитель и преобразуем его следующим образом. Вынесем из первого столбца, а затем вычтем из второго столбца первый, предварительно умноженный на с. После этого мы выносим из второго столбца а затем вычитаем из третьего столбца сумму произведений первого столбца на и второго — на После этой операции мы выносим из третьего столбца множитель и продолжаем процесс. Таким образом мы придем к равенству (4.13).

Из леммы 4.4 следует, что условие (4.12) может быть заменено требованием, чтобы субрезультант . Ввиду этого мы составим всевозможные субрезультанты:

где четном при нечетном — целая часть , и сформулируем полученный результат.

Теорема 4.6. Степень примитивного членов равна номеру первого отличного от нуля субрезулыпанта в строке (4.17).

Замечание 4.2. Пусть все субрезультанты в строке (4.17) равны нулю. Это возможно лишь при ибо при справедлива формула

В этом случае и по предположению Отсюда по теореме 4.6 имеем ибо Следовательно,

Покажем теперь, что примитивный ОНД может быть получен из субрезультанта следующим образом. Последний элемент последней строки, образованной из коэффициентов многочлена заменим многочленом непосредственно стоящий над ним элемент — многочленом стоящий над этим последним — многочленом Аналогично последний элемент первой строки, образованной из коэффициентов многочлена заменим многочленом а нижестоящие элементы последнего столбца определителя — многочленами

Полученный таким образом новый определитель обозначим через Разумеется,

Отметим, что для примера, приведенного в этом пункте, при определитель имеет вид

Теорема 4.7. Имеет место соотношение

Доказательство. Подставим в определитель значения а и 6. из (4.15) и (4.16) и поступим со всеми столбцами определителя, кроме последнего столбца, так же, как при доказательстве леммы 4.4. Вынесем затем из последнего столбца учитывая, что Полученный при этом новый определитель преобразуем следующим образом. Из последнего столбца вычитаем сумму произведений первого столбца на второго — на предпоследнего — на Таким образом, получим

Помножив это равенство на мы в силу (4.13) получаем (4.18). Теорема доказана.

Отметим, что если то примитивный ОНД совпадает с ОНД и (4.18) принимает вид