12.6. О ветвлении изолированного решения.

Обозначим через правую часть уравнения (12.1). Тогда, если в уравнении положим то получим

Данное уравнение имеет решение ибо Пусть — окрестность нуля того линейного пространства, в котором исследуется вопрос о решениях уравнения (12.1). Если в некоторой окрестности уравнение (12.13) имеет лишь нулевое решение, то говорят, что нуль является изолированным решением уравнения (12.13). Здесь мы выясним условия изолированности нулевого решения уравнения (12.13) и вопрос о ветвлении нулевого решения уравнения (12.1), когда нуль — изолированное решение уравнения (12.13).

Обозначим через Ф. левые части уравнения (12.6). Тогда, если в (12.6) положить то получим

Пусть, наконец,

Если В — обратимый оператор, то ясно, что нуль — изолированное решение уравнения (12.13). Если подпространство нулей оператора В имеет конечную размерность то, как мы видели, получается уравнение разветвления (12.4) или (12.6), и в этом случае справедливо предложение.

Лемма 12.3. Для того чтобы нулевое решение уравнения (12.13) было изолированным, необходимой достаточно, чтобы было изолированным решением системы (12.14).

Доказательство следует из леммы 12.1, которая сохраняется, если в уравнениях (12.1) и (12.6) положить

Таким образом, задача об изолированности нулевого решения уравнения (12.13) в случае ветвления сводится к задаче об изолированности нулевого решения уравнения разветвления. В одномерном случае ветвления нулевое решение изолировано тогда и только тогда, когда не все

коэффициенты равны нулю, а в многомерном случае ветвления вопрос решается теоремой 6.3.

Из леммы 12.3 и теоремы 6.3 следует (см. п. 6.5, в котором введены обозначения

Теорема 12.8. Для того чтобы, нулевое решение уравнения (12.13) было изолированным, необходимо и достаточно, чтобы для

Отметим, что если условие данной теоремы нарушается, т. е. при некоторых к имеет место не то из нулевого решения уравнения (12.13) выходят ветви (ветви-регаения), зависящие от одного или более параметров. Перейдем теперь к выяснению вопроса о ветвлении нулевого решения уравнения (12.1), когда нуль является изолированным решением уравнения (12.13). Здесь имеет место предложение.

Теорема 12.9. Пусть — изолированное решение уравнения (12.13). Тогда уравнение (12.1) имеет конечное число малых решений и каждое из них представимо в виде сходящегося (в некоторой окрестности ряда по целым или дробным степеням К.

Доказательство проведем от противного. Допустим, что утверждение теоремы неверно. Тогда либо для всех либо согласно следствию 12.2 найдется такое что не . В первом случае, если положить в (12.5), получим решение уравнения (12.13)

где — произвольные параметры. Первое слагаемое в силу линейной независимости отлично от тождественного нуля. Так как второе слагаемое может содержать лишь члены второго и высших порядков, то при достаточно малых имеем причем при Это противоречит условию теоремы, что — изолированное

решение уравнения (12.13). Во втором случае, если учесть, как образуются из (12.14), следует, что не при некотором Согласно теореме 1.8 это противоречит условию, что изолированное решение уравнения (12.13). Теорема доказана.

Данная теорема необратима. Это видно из следующих примеров.

Пример 12.2. Пусть для уравнения (12.1) имеет место одномерный случай ветвления, т. е. 1 является простым собственным значением оператора А, причем коэффициенты уравнения разветвления (12.4) удовлетворяют условиям: Так как для всех то нулевое решение уравнения (12.14) (при не изолировано.

Покажем, что уравнение разветвления, а значит (в силу леммы 12.1) и уравнение (12.1), имеет конечное число решений. Действительно, в силу условий уравнение (12.4) принимает вид

Полагая здесь

получим

где

Таким образом, если приравнять нулю квадратную скобку, то мы будем находиться в условиях 12.2.3 (см. п. 12.2). Следовательно, уравнение разветвления (12.4) имеет в данном случае три малых решения — одно тривиальное и два нетривиальных. В силу леммы 12.1 и уравнение (12.1) имеет три малых решения. Данный пример показывает, что из наличия у уравнения (12.1) конечного числа

малых решений еще не следует изолированность нулевого решения уравнения (12.13).

Приведем еще пример двумерного случая ветвления, показывающий, что теорема 12.9 необратима. Пример 12.3. Рассмотрим уравнение

Собственными функциями данного симметричного ядра будут

Полагая

мы сведем рассматриваемое уравнение к виду

Сравнивая данное уравнение с уравнением (10.19), мы находим

и

(кликните для просмотра скана)

Уравнение разветвления (носле сокращения первого уравнения на а второго уравнения на — принимает вид

Приведем данную систему к регулярному виду (см. п. 3.1). При помощи неособого линейного преобразования

последняя система преобразуется к виду

и после умножения второго равенства на 2/3 имеем

Полагая в этой системе мы придем к примеру 5.1, для которого было найдено, что Отсюда (см. п. 5.2. и замечание 5.1) следует, что результант Подсчет показывает, что если мы запишем уравнение в виде

то получим, что

Раз результант не равен нулю тождественно, то согласно теореме 5.1 уравнение разветвления, а значит, и рассматриваемый пример имеют конечное число малых решений. Однако если в исходном примере мы положим то получим уравнение, у которого нуль не является изолированным решением.