§ 2. Одномерный сличай ветвления и диаграмма Ньютона

Здесь мы исследуем уравнение разветвления (1.11) когда . В этом случае оно принимает вид

Числа называются коэффициентами уравнения разветвления. К такому уравнению разветвления мы приходим, когда в задаче о неявных функциях (1.1) — (1.2) с аналитическими выполняются условия:

Для исследования уравнения (2.1) мы воспользуемся диаграммой Ньютона.

Ньютон, по-видимому, впервые исследовал вопрос об отыскании неявных функций, когда частная производная может обращаться в нуль. В одной из своих работ (Ньютон [1], стр. 33—44) он рассматривает уравнение

между вещественными переменными х и у, предполагая, что и что разлагается в ряд по целым положительным степеням без требования того, что Решение уравнения (2.2) он ищет в виде ряда

где — возрастающая последовательность рациональных чисел. Для нахождения возможных значений Ньютон дал геометрический прием, получивший название диаграммы Ньютона (или многоугольника Ньютона, или параллелограмма Ньютона). Развитие метода Ньютона и его роль в современном развитии

математики прекрасно освещены в статье Н. Г. Чеботарева [1]. Результаты Ньютона были получены для уравнения (2.2) и в случае комплексных При этом было установлено, что никаких других решений, кроме тех, которые были указаны Ньютоном, нет (А. И. Маркушевич [1]).

Нас, однако, будут интересовать лишь малые решения уравнения (2.1), т. е. непрерывные решения удовлетворяющие условию

2.1. Диаграмма Ньютона

Рассмотрим сначала случай, когда является псевдомногочленом относительно т. е.

— комплексные числа, — комплексные переменные, — неотрицательные рациональные числа, — любое натуральное число, Из нашего допущения о представлении функции вытекает, что если то можно считать Следовательно, без ограничения общности можно считать

Будем рассматривать уравнение

решение которого относительно будем искать в виде ряда

где или, кратко,

где

Для нахождения возможных значений и мы подставим (2.5) в (2.3), соберем члены с одинаковымы степенями и приравняем нулю коэффициенты при этих степенях. Начнем с члена наинизшей степени. Пока не

определено, мы не знаем, какие из полученных членов имеют наинизпшй порядок по Можно лишь утверждать, что низшие члены находятся среди следующих:

если все или среди членов

где к принимает те из значений для которых Так как в (2.6) все коэффициенты то для сокращения членов низшего порядка необходимо, чтобы по крайней мере два из показателей

совпали, а остальные были бы не меньше их. Приравнивая показатели, мы определим все возможные значения а затем подберем значения так, чтобы сумма коэффициентов членов (2.6), имеющих равные показатели, была равна нулю. Таким образом, должен быть корнем одного из линейных уравнений

причем из всех корней только те дают решение задачи, подстановка которых в остальные выражения (2.7) дает не меньшее значение, чем

Для нахождения этих значений используется следующий геометрический прием, принадлежащий Ньютону и носящий название диаграммы Ньютона.

Выберем в плоскости прямоугольную систему координат и построим точки где к принимает те же значения, что и в (2.6).

Проведем через точку прямую, совпадающую с осью ординат, и станем ее вращать вокруг точки против часовой стрелки до тех пор, пока она не заденет какую-нибудь из других построенных точек, например Тангенс угла, составляемого прямой проходящей через точки с отрицательным направлением оси абсцисс, равен одному из возможных значений так как, во-первых, для этого имеем , во-вторых, если через точки

которые не оказались на этой прямой (по построению эти точки лежат выше), провести прямые параллельно то они пересекут ось выше — в точке с ординатой а потому

При этом может оказаться, что на прямую попало несколько из нанесенных точек. Пусть — точка на с наибольшей абсциссой. Будем теперь вращать прямую против часовой стрелки вокруг точки пока она не попадет на другую из нанесенных точек, скажем которой абсцисса

Рис. 1.

Обозначим через прямую, проходящую через точки Рассуждая так же, как раньше, мы придем к выводу, что тангенс угла, составляемого с отрицательным направлением оси абсцисс, дает еще одно из возможных значений е. Пусть — точка на с наибольшей абсциссой. Вращая вокруг и продолжая предыдущий процесс, мы получим выпуклую ломаную, соединяющую точки называемую диаграммой Ньютона (рис. 1).

Перейдем к нахождению значений коэффициента Пусть — концы какого-нибудь отрезка диаграммы, определяющего одно из возможных значений Для точек лежащих на этом отрезке, Для того чтобы после подстановки (2.5) в (2.3) сократились низшие члены, нужно, чтобы сумма

коэффициентов при равнялась нулю, т. е. чтобы

где означает, что суммирование проводится лишь по тем к, для которых Это уравнение имеет отличных от нуля корней (различных или частично совпадающих), т. е. столько корней, какова длина проекции взятого отрезка диаграммы. Отсюда видно, что этим методом мы получим все значений главного члена в разложении (2.5).

Для нахождения следующего члена разложения нужно подставить (2.5) в (2.3) и тем же приемом найти низший член разложения для V. Продолжая данный процесс вычисления, мы придем к разложению (2.4) для каждого из решений уравнения (2.3).