10.4. Многомерный случай ветвления.
Рассмотрим теперь случай, когда 1 является 
-кратным собственным значением оператора Т (см. (10.6)). Пусть 
— ортонормированные собственные функции оператора Т, принадлежащие собственному числу 1, и 
— ортонормированные собственные функции оператора 
(см. (10.6)), принадлежащие тому же числу 1. Так же, как в п. 8.3, рассмотрим ядро
и положим (см. п. 8.5)
Тогда уравнение (10.4) примет вид
По лемме Шмидта существует резольвента Фредгольма 
ядра 
так что согласно формуле (8.4) последнее уравнение преобразуется к виду
Используя теперь формулу (8.27) и обозначения (10.13), мы приходим к уравнению 
которое, как мы видели в п. 8.5, имеет при достаточно малых фиксированных 
единственное непрерывное решение, и оно представимо в виде равномерно сходящегося ряда 
с непрерывными коэффициентами 
Для нахождения 
можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, т. е. подставить (10.20) в (10.19) и сравнить коэффициенты при одинаковых одночленах относительно 
.
В качестве примера мы вычислим первые коэффициенты решения (10.20) в предположении, что 
. В этом случае (10.20) принимает вид
Подставляя данное выражение в (10.19) и отбрасывая линейные члены, получим
Сравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах относительно 
и мы находим следующую рекуррентную систему для 
(см. скан)
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
Для определения возможных значений 
входящих в формулу (10.20), мы подставим (10.20) в (8.22). Учитывая, что функции 
ортонормальпы, получаем
Эти равенства после введения обозначений
принимают вид
Данная система, как было отмечено раньше, называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта. Таким образом, возможные значения 
, для которых формула (10.20) определяет решения уравнения (10.19), представляют собою малые решения системы (10.24), если эта система совместна относительно малых решений. Для решения вопроса о совместности системы (10.24) и о нахождении ее малых решений мы в дальнейшем воспользуемся результатами § 6. Таким путем может быть решен вопрос о числе и виде всех малых решений уравнения (10.19), когда 1 является 
ратным собственным значением оператора Т. Прибавляя к каждому такому решению решение 
(см. уравнение (10.2)), мы получим семейство всех решений уравнения (10.1), стремящихся к 
при 
Эти вопросы мы изучим в следующем параграфе, а пока
займемся вычислением коэффициентов 
для наиболее важных частных случаев уравнения (10.1).
