25.5. О ветвлении изолированного решения.

Так же, как в п. 12.6, мы обозначим через правую часть уравнения (25.1). Полагая затем мы получим

Данное уравнение имеет нулевое решение, ибо нами был изучен вопрос об изолированности нулевого решения такого уравнения (см. (12.13)) как в регулярном случае, так и в случае ветвления (одномерного и многомерного). Этот вопрос также рассматривался в п. 23.1. Следует отметить, что рассуждения в п. 12.6 носили общий характер, так что установленные там предложения сохраняются и для рассматриваемых здесь (в банаховых пространствах) уравнений (25.1) и (25.9). В частности, имеет место предложение о том (см. лемму 12.3), что нулевое решение уравнения (25.9) является изолированным тогда и только тогда, когда нулевое решение системы (12.14) изолировано. Условия изолированности нулевого решения системы (12.14) были установлены в п. 6.5 (см. теорему 6.3). Сохраняется и следующее предложение (см. теорему 12.9).

Теорема 25.3. Если нулевое решение уравнения (25.9) изолировано, то уравнение (25.1) имеет конечное число малых решений и каждое из них представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням параметра X.

Данная теорема показывает, что для квазирегулярности уравнения (25.1) достаточно, чтобы нулевое решение уравнения (25.9) было изолированным. Обратное утверждение, как показывают примеры 12.2 и 12.3, не всегда имеет место.