§ 9. Системы уравнений Ляпунова—Шмидта и некоторые интегро-дифференциальные уравнения

Здесь мы только исследуем системы двух уравнений, так как переход к системам большего числа уравнений не связан с дополнительными трудностями и приводит лишь к громоздким записям.

9.1. Системы двух уравнений Ляпунова—Шмидта.

Рассмотрим систему

где В — ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства,

причем ядра, определяющие линейные интегральные операторы и формы непрерывны по совокупности аргументов и вещественны или комплекснозначны. Предполагается, что — заданная функция, и — неизвестные функции, причем

Мы исследуем систему (9.1) в предположении регулярной сходимости правых частей этой системы и в связи с этим допустим, что

где (см. п. 7.1)

В случае равномерной сходимости правых частей мы ограничимся лишь общим замечанием. Предварительно рассмотрим систему

которая обычным приемом сводится к одному линейному интегральному уравнению. Именно, обозначим через множество, которое получается путем сдвига В на вектор

так, чтобы пересечение , было пустым, и положим

Ясно, что — замкнутое множество (как соединение замкнутых множеств В и Далее, положим

При помощи этих обозначений система (9.2) записывается в виде одного уравнения:

исследование которого приводит к различным выводам о решениях системы (9.1). И здесь приходится различать регулярный случай, когда 1 не является собственным значением оператора Т:

и случай ветвления, когда 1 является собственным значением оператора Т. Эти два случая мы рассмотрим отдельно, но предварительно сделаем следующее замечание. Отметим, что более общая система

которую мы запишем кратко:

приводится к системе (9.1), если для всех

так как в этом случае система (9.4) разрешима относительно и